MATLAB求常微分方程的数值解:x²d²y/dx²+4xdy/dx+2y=0;y(1)=2;y′(1)=-3
时间: 2023-06-16 08:03:29 浏览: 152
可以使用MATLAB中的ode45函数求解该常微分方程的数值解。具体步骤如下:
1. 将二阶常微分方程转化为一阶常微分方程组。令y1=y,y2=dy/dx,则原方程可以转化为如下形式:
dy1/dx = y2
dy2/dx = -4x*y2/x^2 - 2y1/x^2
2. 定义一个匿名函数,表示上述方程组的右端项。代码如下:
f = @(x,y) [y(2); -4*x*y(2)/x^2 - 2*y(1)/x^2];
3. 定义初值条件。根据题意,y(1)=2,y'(1)=-3,则初值条件为y0=[2; -3]。
4. 调用ode45函数求解数值解。代码如下:
[x, y] = ode45(f, [1, 5], y0);
ode45函数的第一个参数是右端项函数,第二个参数是求解的时间范围,这里是从x=1到x=5,第三个参数是初值条件。
5. 绘制数值解的图像。代码如下:
plot(x, y(:, 1));
y(:, 1)表示y的数值解,对应的是y1。图像如下所示:
![MATLAB求解常微分方程的数值解](https://i.imgur.com/KHvS9lB.png)
相关问题
求微分方程(y-1-xy)dx+xdy=0的积分因子与通解或通积分,我想要手写的过程
### 回答1:
好的,下面是求解微分方程(y-1-xy)dx+x*dy=0的过程:
首先,我们需要确定该微分方程是否为恰当微分方程。通过计算该微分方程的偏导数,我们得到:
∂(y-1-xy)/∂y = 1-x
∂(x)/∂x = 1
因为 ∂(y-1-xy)/∂y 不等于 ∂(x)/∂x,所以该微分方程不是恰当微分方程。
接下来,我们需要寻找积分因子,使得将该积分因子乘到微分方程的每一项中后,可以使该微分方程变为恰当微分方程。
积分因子的一般形式为 μ(x,y),我们需要找到 μ(x,y) 使得:
μ(x,y)*∂(y-1-xy)/∂y - μ(x,y)*x + μ(x,y)*∂(x)/∂x*y = 0
其中,∂(y-1-xy)/∂y 和 ∂(x)/∂x*y 是该微分方程的两个不恰当项。
我们发现,该式可以写成:
(μ(x,y)*y)*∂(x)/∂x + (μ(x,y)*(1-x))*∂(y)/∂y - μ(x,y) = 0
这是一个恰当微分方程的形式,我们需要找到 μ(x,y) 使得该式成立。
我们注意到,(μ(x,y)*y) 和 (μ(x,y)*(1-x)) 是该微分方程的两个不恰当项,因此我们可以分别令它们的偏导数相等,得到两个方程:
∂(μ(x,y)*y)/∂y = ∂(μ(x,y)*(1-x))/∂x
通过对右式关于 x 求偏导数,对左式关于 y 求偏导数,然后将它们相等,得到:
y*∂(μ(x,y))/∂y - (1-x)*∂(μ(x,y))/∂x = μ(x,y)*∂(y)/∂x - ∂(x)/∂x*μ(x,y)
将微分方程带入上式,得到:
y*∂(μ(x,y))/∂y - x*μ(x,y) = 0
这是一个一阶线性微分方程,我们可以使用分离变量法来解它。将式子变形得到:
dμ(x,y)/μ(x,y) = x/y dy
对两边同时积分,得到:
ln|μ(x,y)| = 1/2x^2 + C
其中,C 是一个常数。将 e 的幂次形式应用于上式,得到:
μ(x,y) = e^(1/2x^2 + C)
因此,积分因子为 μ(x,y) = e^(1/2x^2 + C)。
接下来,我们将积分因子乘到微分方程的每
### 回答2:
首先,我们需要找到微分方程的积分因子。积分因子的定义为μ(x, y) = 1/[(My - Nx)/N], 其中N和M是方程中x和y的系数。
我们将已给的微分方程写成一般形式:(y - 1 - xy)dx + xdy = 0。
比较方程中x和y的系数,我们得到M = y - 1 - xy,N = x。
然后,计算M_y和N_x的偏导数:
M_y = 1 - x
N_x = 1
然后,代入积分因子的定义,得到积分因子μ(x, y) = 1/[(1 - x)/x] = x/(1 - x)。
接下来,我们将原方程乘以积分因子μ(x, y),得到:
x(y - 1 - xy)dx + x^2dy = 0
化简得:xydx - x^2ydx - x^2dy + x^2dy = 0
合并同类项:xydx - x^2ydx = 0
然后,我们对上式进行分离变量,得到:
ydx - xydx = 0
区分变量并进行积分,得到:
∫ydx = ∫xydx
解得:yx = (x^2)/2 + C
因此,原微分方程的通解为:yx = (x^2)/2 + C,其中C为常数。
以上就是求解微分方程(y-1-xy)dx + xdy = 0的积分因子与通解的详细过程。
### 回答3:
首先我们需要确定积分因子。对于给定的微分方程dy(x(y-1)-xy)dx=0,我们可以通过判断以下条件来确定积分因子:
1. 方程为非恰当微分方程,即M(x,y)=y-1-xy和N(x,y)=0的偏导数不相等;
2. 通过判断N(x,y)除以y-1-xy的偏导数和M(x,y)除以x的偏导数的差是否与M(x,y)除以y的偏导数和dy(x(y-1)-xy)dx的差无关。
首先,我们计算M(x,y)和N(x,y)的偏导数:
∂M/∂y = 1-x ;
∂N/∂x = 0.
由于两个偏导数不相等,所以这是一个非恰当微分方程。
接下来,我们计算N(x,y)除以y-1-xy的偏导数和M(x,y)除以x的偏导数的差:
(∂N/∂y)/(y-1-xy) - (∂M/∂x)/x
= 0 - (1-x)/x
= x/(xy) - 1/x
= (x^2-xy)/x^2 .
而∂M/∂y的值为1-x与该差值无关。
因此,我们可以选择积分因子μ(x,y) = (xy-x^2)/x^2 = y/x - 1。
接下来,我们进行通解的求解。
将微分方程整理为(y-1-xy)dx + xdy = 0的形式。
令M(x,y) = y-1-xy,N(x,y) = x,以及μ(x,y) = y/x-1;
则方程可以重新写为(μMdx+μNdy)=0的形式,即(y/x-1)(y-1-xy)dx + (y/x-1)xdy = 0.
利用恰当微分方程的定义:∂(μM)/∂y = ∂(μN)/∂x,我们可以得到:
∂(μM)/∂y = ∂(μN)/∂x
∂(ym-y-xym)/∂y = ∂(yx-y)/∂x
m = 1.
现在我们需要找到一个函数u(x,y),使得u(x,y)满足以下条件:
∂u/∂x = μM = (y/x-1)(y-1-xy)
∂u/∂y = μN = (y/x-1)x
我们可以通过对上述两个等式依次积分来得到u(x,y)的表达式。积分得到u(x,y)为:
u(x,y) = ∫[(y/x-1)(y-1-xy)]dx + φ(y)
其中φ(y)是关于y的积分常数函数。
现在我们需要通过对u(x,y)关于y求偏导数,然后令其等于N(x,y) = x来找到φ(y)。
∂u/∂y = [(y/x-1)x] + φ'(y)
等于N(x,y) = x,我们得到φ'(y) = 0,即φ(y)为一个常数。
因此,我们得到u(x,y) = ∫[(y/x-1)(y-1-xy)]dx + C,其中C为积分常数。
最后,通过u(x,y) = C可以得到方程的通积分为:
u(x,y) = ∫[(y/x-1)(y-1-xy)]dx + C = 0.
综上所述,微分方程的积分因子为μ(x,y) = y/x-1,通解或通积分为u(x,y) = ∫[(y/x-1)(y-1-xy)]dx + C = 0.
微分方程xdy/x-y=3的通解
首先将方程化为标准形式,即将y视为自变量,x视为未知函数:
dy/dx = (x+y)/x - 3/x
令z = y/x,则y = zx,dy/dx = z + x dz/dx。将以上结果代入原方程可得:
z + x dz/dx = (x+z)/x - 3/x
整理可得:
x dz/dx = -2z + 3
将变量分离并分别积分,得到:
∫dz/(2z/3 - 1/x) = ∫dx/x
化简得到:
2/3 ln|2z-3| - ln|x| = ln|C|
其中C为常数,移项并取指数可得:
|2z-3|^2 / |x|^3 = e^{2ln|C|/3} = D
其中D为正常数,再次化简可得:
|y-3x|^2 = Dx^3
因此通解为:
|y-3x| = Cx^{3/2}
其中C为任意常数。
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