平面曲线x²+3xy+4y²=2在(-1,1)处指向右侧的切向量及指向上侧的法向量立分 别为:
时间: 2023-09-08 10:05:22 浏览: 45
### 回答1:
首先,我们要求出曲线在点(-1,1)处的切线方程。为此,我们可以使用隐函数求导法。
将曲线方程对x求导,得到:
2x + 3y dx/dy + 0 = 0
化简可得:
dx/dy = -(2x + 3y) / (6y + x)
在点(-1,1)处,代入x=-1,y=1,得到:
dx/dy = -1 / 3
因此,在点(-1,1)处,曲线的切向量为(1,-3)(指向右侧)。
接下来,我们要求出曲线在点(-1,1)处的法向量。由于切向量(1,-3)和法向量垂直,因此可以将切向量逆时针旋转90度得到法向量。旋转公式为:
[x' y'] = [-y x]
将切向量(1,-3)代入,可得法向量为(3,1)(指向上侧)。
### 回答2:
首先,我们计算平面曲线x² + 3xy + 4y² = 2在点(-1, 1)处的切向量。
1. 切向量的定义是曲线在该点的切线方向。为了找到切向量,我们需要求曲线在该点的导数。
先对曲线方程两边同时求导,得到:
2x + 3y + 3x dy/dx + 8y dy/dx = 0
化简得:
(3x + 8y) dy/dx = -2x - 3y
dy/dx = (-2x - 3y) / (3x + 8y)
将点(-1, 1)代入得:
dy/dx = (-2(-1) - 3(1)) / (3(-1) + 8(1)) = (2 - 3) / (-3 + 8) = -1/5
切向量的斜率等于导数的值,所以切向量的斜率为 -1/5。因为切线与x轴的夹角是切向量斜率的反正切值,所以切线与x轴的夹角为 arctan(-1/5) ≈ -11.31°。
由于切向量指向右侧,我们可以得出切向量为(1, -1/5)。
2. 法向量的定义是与切向量垂直的向量。为了找到法向量,我们需要求切向量的垂直向量。
由切向量的斜率为 -1/5,通过一般垂直向量的特性,我们可以得出法向量的斜率为 5/1 = 5。
因为法向量指向上侧,所以法向量为(1, 5)。
综上所述,平面曲线x² + 3xy + 4y² = 2在点(-1, 1)处的切向量为(1, -1/5),法向量为(1, 5)。
### 回答3:
首先,我们需要求出平面曲线x² + 3xy + 4y² = 2在点(-1, 1)处的切线方程。
1. 求切向量:
导数方法:对方程两边求偏导数,得到2x + 3y + 3xdy/dx + 8ydy/dx = 0。
将点(-1, 1)代入,得到2(-1) + 3(1) + 3(-1)dy/dx + 8(1)dy/dx = 0。
化简得到-2 + 3 - 3dy/dx + 8dy/dx = 0,进一步化简得到5dy/dx = -1,即dy/dx = -1/5。
因此,在点(-1, 1)处指向右侧的切向量的斜率为-1/5。
2. 求法向量:
法向量垂直于切线,因此斜率相乘为-1。由切向量的斜率为-1/5,可得法向量的斜率为5。
在点(-1, 1)处指向上侧的法向量的斜率为5。
综上所述,平面曲线x² + 3xy + 4y² = 2在点(-1, 1)处指向右侧的切向量的斜率为-1/5,指向上侧的法向量的斜率为5。