密度为 ρ(x,y) =4- (2x²+y²) 的曲线 x²+y²=1 的质量M是什么

该曲线为单位圆 $x^2+y^2=1$，因此可以使用极坐标系进行计算。在极坐标系下，密度为 $\rho(r,\theta)=4-(2r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta)=4-r^2$，因此质量可以表示为：

$$
M = \iint_D \rho(r,\theta)r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta = \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^1 (4-r^2)r\mathrm{d}r
$$

对 $r$ 进行积分，可以得到：

$$
\int_0^1 (4-r^2)r\mathrm{d}r = \left[2r^2-\dfrac{1}{3}r^4\right]_0^1 = \dfrac{5}{3}
$$

因此，质量为：

$$
M = \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^1 (4-r^2)r\mathrm{d}r = \left[\dfrac{5}{3}r^2\right]_0^1 \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta = \dfrac{5}{3} \cdot 2\pi = \boxed{ \frac{10}{3}\pi}
$$

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该曲线为单位圆 $x^2+y^2=1$，因此可以使用极坐标系进行计算。在极坐标系下，密度为 $\rho(r,\theta)=4-(2r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta)=4-r^2$，因此质量可以表示为：

$$
M = \iint_D \rho(r,\theta)r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta = \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^1 (4-r^2)r\mathrm{d}r
$$

对 $r$ 进行积分，可以得到：

$$
\int_0^1 (4-r^2)r\mathrm{d}r = \left[2r^2-\dfrac{1}{3}r^4\right]_0^1 = \dfrac{5}{3}
$$

因此，质量为：

$$
M = \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^1 (4-r^2)r\mathrm{d}r = \left[\dfrac{5}{3}r^2\right]_0^1 \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta = \dfrac{5}{3} \cdot 2\pi = \boxed{\textbf{(D) }5\pi}
$$

直角坐标系下积分区域 D={(x，y)|x²+y² ≤2y}，则在极坐标系下，积分区域D的不等式形式是 什么

### 回答1：
在极坐标系下，我们有 $x=r\cos\theta$ 和 $y=r\sin\theta$，因此不等式 $x^2y^2\leq 2y$ 可以变形为 $r^4\cos^2\theta\sin^2\theta\leq 2r\sin\theta$，即 $r^3\leq \frac{2}{\cos^2\theta\sin\theta}$。因此，积分区域 $D$ 在极坐标系下的不等式形式是 $0\leq r\leq\left(\frac{2}{\cos^2\theta\sin\theta}\right)^{1/3}$。

### 回答2：
在极坐标系下，积分区域D的不等式形式为ρ² ≤ 2ρ sinθ，其中ρ是极径，θ是极角。这是因为在直角坐标系下，积分区域D可以表示为x² + y² ≤ 2y，将直角坐标转换为极坐标，即x = ρ cosθ，y = ρ sinθ，代入原不等式中得到 (ρ cosθ)² + (ρ sinθ)² ≤ 2(ρ sinθ)，整理得到ρ² ≤ 2ρ sinθ。因此，在极坐标系下，积分区域D的不等式形式为ρ² ≤ 2ρ sinθ。

### 回答3：
在直角坐标系下，积分区域 D={(x，y)|x² y² ≤2y} 表示的是由曲线 x²y² = 2y 所围成的区域。为了将其转换为极坐标系下的不等式形式，首先需要将曲线方程转换为极坐标形式。

在极坐标系下，直角坐标 (x, y) 可以表示为极坐标 (r, θ)，其中 x = rcosθ，y = rsinθ。将直角坐标系下的曲线方程 x²y² = 2y 转换为极坐标形式则为 (rcosθ)²(rsinθ)² = 2rsinθ，化简得 r⁴sin⁴θ - 2rsinθ = 0。

进一步化简得 r(r³sin⁴θ - 2sinθ) = 0。由此可得到两个方程：r = 0 和 r³sin⁴θ - 2sinθ = 0。其中 r = 0 对应于极坐标系的原点，即 (0, 0)。

而 r³sin⁴θ - 2sinθ = 0 则表示极坐标系中的曲线。将其化简为不等式形式，可以得到极坐标系下积分区域 D 的不等式形式为 r³sin⁴θ - 2sinθ ≥ 0。

总结起来，积分区域 D 在极坐标系下的不等式形式为 r³sin⁴θ - 2sinθ ≥ 0。