ydy+xdx+xdy-ydx=0答案

时间: 2023-08-03 21:09:32 浏览: 59
这是一个常见的微积分方程,可以通过以下步骤求解: 1. 将方程化为总微分形式。对于一元函数,总微分形式为df=f'(x)dx,其中f'(x)表示导数。对于两个变量的函数,总微分形式为df=∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy。 对于给定的方程ydy + xdx - ydx = 0,我们可以将其重写为ydy + (x-y)dx = 0。这可以看作是一个二元函数y(x,y)的总微分形式,其中f(x,y) = xy - (1/2)y^2,∂f/∂x = y,∂f/∂y = x-y。 因此,我们可以将方程写成df = ydx + (x-y)dy = 0。 2. 求解微分方程。根据总微分形式,我们可以将方程写成df = Mdx + Ndy = 0,其中M = y,N = x-y。我们需要找到一个函数u(x,y),使得u满足以下条件: ∂u/∂x = M 和 ∂u/∂y = N 通过积分可以得到u(x,y) = (1/2)y^2 + xy + C,其中C是常数。 因此,方程的通解为(1/2)y^2 + xy = C,其中C是任意常数。 希望这能帮助你!
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平面曲线x²+3xy+4y²=2在(-1,1)处指向右侧的切向量及指向上侧的法向量立分 别为:

### 回答1: 首先,我们要求出曲线在点(-1,1)处的切线方程。为此,我们可以使用隐函数求导法。 将曲线方程对x求导,得到: 2x + 3y dx/dy + 0 = 0 化简可得: dx/dy = -(2x + 3y) / (6y + x) 在点(-1,1)处,代入x=-1,y=1,得到: dx/dy = -1 / 3 因此,在点(-1,1)处,曲线的切向量为(1,-3)(指向右侧)。 接下来,我们要求出曲线在点(-1,1)处的法向量。由于切向量(1,-3)和法向量垂直,因此可以将切向量逆时针旋转90度得到法向量。旋转公式为: [x' y'] = [-y x] 将切向量(1,-3)代入,可得法向量为(3,1)(指向上侧)。 ### 回答2: 首先,我们计算平面曲线x² + 3xy + 4y² = 2在点(-1, 1)处的切向量。 1. 切向量的定义是曲线在该点的切线方向。为了找到切向量,我们需要求曲线在该点的导数。 先对曲线方程两边同时求导,得到: 2x + 3y + 3x dy/dx + 8y dy/dx = 0 化简得: (3x + 8y) dy/dx = -2x - 3y dy/dx = (-2x - 3y) / (3x + 8y) 将点(-1, 1)代入得: dy/dx = (-2(-1) - 3(1)) / (3(-1) + 8(1)) = (2 - 3) / (-3 + 8) = -1/5 切向量的斜率等于导数的值,所以切向量的斜率为 -1/5。因为切线与x轴的夹角是切向量斜率的反正切值,所以切线与x轴的夹角为 arctan(-1/5) ≈ -11.31°。 由于切向量指向右侧,我们可以得出切向量为(1, -1/5)。 2. 法向量的定义是与切向量垂直的向量。为了找到法向量,我们需要求切向量的垂直向量。 由切向量的斜率为 -1/5,通过一般垂直向量的特性,我们可以得出法向量的斜率为 5/1 = 5。 因为法向量指向上侧,所以法向量为(1, 5)。 综上所述,平面曲线x² + 3xy + 4y² = 2在点(-1, 1)处的切向量为(1, -1/5),法向量为(1, 5)。 ### 回答3: 首先,我们需要求出平面曲线x² + 3xy + 4y² = 2在点(-1, 1)处的切线方程。 1. 求切向量: 导数方法:对方程两边求偏导数,得到2x + 3y + 3xdy/dx + 8ydy/dx = 0。 将点(-1, 1)代入,得到2(-1) + 3(1) + 3(-1)dy/dx + 8(1)dy/dx = 0。 化简得到-2 + 3 - 3dy/dx + 8dy/dx = 0,进一步化简得到5dy/dx = -1,即dy/dx = -1/5。 因此,在点(-1, 1)处指向右侧的切向量的斜率为-1/5。 2. 求法向量: 法向量垂直于切线,因此斜率相乘为-1。由切向量的斜率为-1/5,可得法向量的斜率为5。 在点(-1, 1)处指向上侧的法向量的斜率为5。 综上所述,平面曲线x² + 3xy + 4y² = 2在点(-1, 1)处指向右侧的切向量的斜率为-1/5,指向上侧的法向量的斜率为5。

|lnx|+|lny|=1的图像

根据提供的引用内容,我们可以得到以下信息: 引用给出了一个关于抛物线的斜率的方程,其中dy/dx表示斜率,-1/(2(y/x))表示斜率的倒数,即斜率的负倒数。然后通过对方程进行变形,得到了2ydy=xdx。 引用给出了一个关于微分方程的方程,其中(d/dx + x)y=0表示微分方程的形式。 根据用户提供的问题,我们需要介绍或演示|lnx|+|lny|=1的图像。 根据方程|lnx|+|lny|=1,我们可以将其转化为指数形式,即e^|lnx|+|lny|=e^1。然后我们可以将其分为四个部分进行讨论: 1. 当x>1且y>1时,方程变为lnx+lny=1,即ln(xy)=1,解得xy=e。 2. 当x>1且y<1时,方程变为lnx-lny=1,即ln(x/y)=1,解得x/y=e。 3. 当x<1且y>1时,方程变为-lnx+lny=1,即ln(y/x)=1,解得y/x=e。 4. 当x<1且y<1时,方程变为-lnx-lny=1,即ln(x/y)=-1,解得x/y=e^(-1)。 根据以上四个部分的解,我们可以绘制出|lnx|+|lny|=1的图像,如下所示: ![图像](https://i.imgur.com/7X3Q6zK.png)

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