ydy+xdx+xdy-ydx=0答案

这是一个常见的微积分方程，可以通过以下步骤求解：

1. 将方程化为总微分形式。对于一元函数，总微分形式为df=f'(x)dx，其中f'(x)表示导数。对于两个变量的函数，总微分形式为df=∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy。

对于给定的方程ydy + xdx - ydx = 0，我们可以将其重写为ydy + (x-y)dx = 0。这可以看作是一个二元函数y(x,y)的总微分形式，其中f(x,y) = xy - (1/2)y^2，∂f/∂x = y，∂f/∂y = x-y。

因此，我们可以将方程写成df = ydx + (x-y)dy = 0。

2. 求解微分方程。根据总微分形式，我们可以将方程写成df = Mdx + Ndy = 0，其中M = y，N = x-y。我们需要找到一个函数u(x,y)，使得u满足以下条件：

∂u/∂x = M 和 ∂u/∂y = N

通过积分可以得到u(x,y) = (1/2)y^2 + xy + C，其中C是常数。

因此，方程的通解为(1/2)y^2 + xy = C，其中C是任意常数。

希望这能帮助你！

相关问题

npm install -g cnpm --registry=https://registry.npm.taobao.org失败

### 可能的错误原因

当执行 `npm install -g cnpm --registry=https://registry.npm.taobao.org` 出现失败情况时，这可能是由几个因素引起的。常见的原因有：

- 缓存损坏可能导致安装过程中出现问题[^2]。
- 权限不足也可能阻止全局安装成功；尝试以管理员身份运行命令提示符可以解决此问题。
- Node.js 或 NPM 的版本过低或存在不兼容的情况同样会影响 cnpm 的正常安装。确保使用的 Node 和 NPM 是最新稳定版或是已验证可工作的特定版本。

### 解决方案

为了有效解决问题并顺利完成 cnpm 的安装，建议按照以下方法操作：

#### 清除NPM缓存
遇到此类问题时，首先应该清理 npm 的缓存来排除因缓存文件引起的问题：

npm cache verify

#### 检查并调整权限设置
如果是在 Windows 上遇到权限相关的问题，则可以在 CMD 中右键点击选择“以管理员身份运行”，然后再试一次安装命令。另外，在某些情况下修改文件夹的安全属性也能帮助解决问题，比如允许当前用户对该路径下的所有文件拥有完全控制权[^3]。

#### 更新Node.js和NPM至合适版本
考虑到不同版本间的兼容性差异，更新到最新的 LTS (长期支持) 版本通常是一个不错的选择。可以从官方站点获取适合的操作系统对应的安装程序进行升级：https://nodejs.org/en/download/ 。对于需要指定版本的情形，也可以通过如下方式安装特定版本的 npm：

npm install -g npm@6.14.14

完成上述步骤之后再重新尝试安装 cnpm 应该能够减少甚至消除之前的错误信息。

平面曲线x²+3xy+4y²=2在（-1，1）处指向右侧的切向量及指向上侧的法向量立分 别为：

### 回答1：
首先，我们要求出曲线在点(-1,1)处的切线方程。为此，我们可以使用隐函数求导法。

将曲线方程对x求导，得到：

2x + 3y dx/dy + 0 = 0

化简可得：

dx/dy = -(2x + 3y) / (6y + x)

在点(-1,1)处，代入x=-1，y=1，得到：

dx/dy = -1 / 3

因此，在点(-1,1)处，曲线的切向量为(1,-3)（指向右侧）。

接下来，我们要求出曲线在点(-1,1)处的法向量。由于切向量(1,-3)和法向量垂直，因此可以将切向量逆时针旋转90度得到法向量。旋转公式为：

[x' y'] = [-y x]

将切向量(1,-3)代入，可得法向量为(3,1)（指向上侧）。

### 回答2：
首先，我们计算平面曲线x² + 3xy + 4y² = 2在点(-1, 1)处的切向量。

1. 切向量的定义是曲线在该点的切线方向。为了找到切向量，我们需要求曲线在该点的导数。

先对曲线方程两边同时求导，得到：

2x + 3y + 3x dy/dx + 8y dy/dx = 0

化简得：

(3x + 8y) dy/dx = -2x - 3y

dy/dx = (-2x - 3y) / (3x + 8y)

将点(-1, 1)代入得：

dy/dx = (-2(-1) - 3(1)) / (3(-1) + 8(1)) = (2 - 3) / (-3 + 8) = -1/5

切向量的斜率等于导数的值，所以切向量的斜率为 -1/5。因为切线与x轴的夹角是切向量斜率的反正切值，所以切线与x轴的夹角为 arctan(-1/5) ≈ -11.31°。

由于切向量指向右侧，我们可以得出切向量为(1, -1/5)。

2. 法向量的定义是与切向量垂直的向量。为了找到法向量，我们需要求切向量的垂直向量。

由切向量的斜率为 -1/5，通过一般垂直向量的特性，我们可以得出法向量的斜率为 5/1 = 5。

因为法向量指向上侧，所以法向量为(1, 5)。

综上所述，平面曲线x² + 3xy + 4y² = 2在点(-1, 1)处的切向量为(1, -1/5)，法向量为(1, 5)。

### 回答3：
首先，我们需要求出平面曲线x² + 3xy + 4y² = 2在点(-1, 1)处的切线方程。

1. 求切向量：
导数方法：对方程两边求偏导数，得到2x + 3y + 3xdy/dx + 8ydy/dx = 0。
将点(-1, 1)代入，得到2(-1) + 3(1) + 3(-1)dy/dx + 8(1)dy/dx = 0。
化简得到-2 + 3 - 3dy/dx + 8dy/dx = 0，进一步化简得到5dy/dx = -1，即dy/dx = -1/5。
因此，在点(-1, 1)处指向右侧的切向量的斜率为-1/5。

2. 求法向量：
法向量垂直于切线，因此斜率相乘为-1。由切向量的斜率为-1/5，可得法向量的斜率为5。
在点(-1, 1)处指向上侧的法向量的斜率为5。

综上所述，平面曲线x² + 3xy + 4y² = 2在点(-1, 1)处指向右侧的切向量的斜率为-1/5，指向上侧的法向量的斜率为5。