dy/dx+y/x=4 怎么解

这是一个分离变量的微分方程。将等式两边乘以dx和x，得到：

ydy = 4xdx

再对等式两边分别积分，得到：

∫ydy = ∫4xdx

1/2y^2 = 2x^2 + C （C为常数）

因此，解为：

y = ±√(4x^2 + C)

相关问题

求微分方程dy/x+y/x=e*x的通解

将原方程变形得：

dy/y = x*dx

对其两边同时积分，得

ln|y| = 1/2*x^2 + C1

其中C1为任意常数，继续变形得

|y| = e^(1/2*x^2+C1)

根据指数函数的性质，有e^C1为正常数，所以又可以得到：

y = ±e^C2*e^(1/2*x^2)

其中C2为正常数，综上所述，原微分方程的通解为：

y = C*e^(1/2*x^2) （其中C为任意常数）

dy/dx+(x+(1+3x²)/(1+x+x³))y=x³+2x+x²(1+3x²)/(1+x+x³) y(0)=1

这是一个一阶线性常微分方程，可以使用常数变易法来求解。

首先，求出对应的齐次方程的通解：

dy/dx + xy = 0

将dy/dx 和 y 分离变量，得到：

dy / y = -x dx

两边同时积分，得到：

ln|y| = -1/2 x² + C1

其中，C1 是一个任意常数。解出 y，得到：

y = Ce^(-1/2 x²)

其中，C 是一个任意常数。

接下来，使用常数变易法，假设通解为：

y = u(x)e^(-1/2 x²)

将 y 和它的导数带入原方程中：

(u' + xu)e^(-1/2 x²) + (x+(1+3x²)/(1+x+x³))u(x)e^(-1/2 x²) = x³+2x+x²(1+3x²)/(1+x+x³)

化简得到：

u'(x)e^(-1/2 x²) = x³e^(1/2 x²)

两边同时积分，得到：

u(x) = 1/2 ∫x³ e^(1/2 t²) dt + C2

其中，C2 是一个任意常数。

因此，通解为：

y = Ce^(-1/2 x²) + 1/2 e^(-1/2 x²) ∫x³ e^(1/2 t²) dt

将初始条件 y(0) = 1 带入，得到：

C + 1/2 ∫0³ e^(1/2 t²) dt = 1

解出常数 C，得到：

C = 1 - 1/2 ∫0³ e^(1/2 t²) dt

将 C 带入通解中，即可得到特解。