求全微分ydx+xdy的原函数
时间: 2023-09-12 10:07:24 浏览: 96
首先,判断全微分的条件是:
$$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$$
其中 $M=y$,$N=xy$。
所以,
$$\frac{\partial M}{\partial y} = 1, \frac{\partial N}{\partial x} = y$$
因为 $\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}$,所以 $ydx+xdy$ 不是全微分。
我们可以通过对 $ydx+xdy$ 进行积分来求得其原函数。
我们可以先尝试对 $ydx+xdy$ 进行变形:
$$ydx+xdy = d(xy)$$
所以 $ydx+xdy$ 的原函数是 $xy$。
相关问题
ydy+xdx+xdy-ydx=0答案
这是一个常见的微积分方程,可以通过以下步骤求解:
1. 将方程化为总微分形式。对于一元函数,总微分形式为df=f'(x)dx,其中f'(x)表示导数。对于两个变量的函数,总微分形式为df=∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy。
对于给定的方程ydy + xdx - ydx = 0,我们可以将其重写为ydy + (x-y)dx = 0。这可以看作是一个二元函数y(x,y)的总微分形式,其中f(x,y) = xy - (1/2)y^2,∂f/∂x = y,∂f/∂y = x-y。
因此,我们可以将方程写成df = ydx + (x-y)dy = 0。
2. 求解微分方程。根据总微分形式,我们可以将方程写成df = Mdx + Ndy = 0,其中M = y,N = x-y。我们需要找到一个函数u(x,y),使得u满足以下条件:
∂u/∂x = M 和 ∂u/∂y = N
通过积分可以得到u(x,y) = (1/2)y^2 + xy + C,其中C是常数。
因此,方程的通解为(1/2)y^2 + xy = C,其中C是任意常数。
希望这能帮助你!
xdy-ydx用全微分表达
我们有:
∂(xdy-ydx)/∂x = ∂(x)/∂x * ∂(dy)/∂x - ∂(y)/∂x * ∂(dx)/∂x
= dy/dx
∂(xdy-ydx)/∂y = ∂(x)/∂y * ∂(dy)/∂y - ∂(y)/∂y * ∂(dx)/∂y
= x * d^2y/dx^2 - d^2x/dydx
由于在这里 d^2y/dx^2 = d^2x/dydx (根据混合偏导数的定义),因此:
∂(xdy-ydx)/∂y = 0
因此,xdy - ydx 的全微分为 dy/dx。
相关推荐
![doc](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083327.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)