求全微分ydx+xdy的原函数

首先，判断全微分的条件是：

$$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$$

其中 $M=y$，$N=xy$。

所以，

$$\frac{\partial M}{\partial y} = 1, \frac{\partial N}{\partial x} = y$$

因为 $\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}$，所以 $ydx+xdy$ 不是全微分。

我们可以通过对 $ydx+xdy$ 进行积分来求得其原函数。

我们可以先尝试对 $ydx+xdy$ 进行变形：

$$ydx+xdy = d(xy)$$

所以 $ydx+xdy$ 的原函数是 $xy$。

相关问题

ydy+xdx+xdy-ydx=0答案

这是一个常见的微积分方程，可以通过以下步骤求解：

1. 将方程化为总微分形式。对于一元函数，总微分形式为df=f'(x)dx，其中f'(x)表示导数。对于两个变量的函数，总微分形式为df=∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy。

对于给定的方程ydy + xdx - ydx = 0，我们可以将其重写为ydy + (x-y)dx = 0。这可以看作是一个二元函数y(x,y)的总微分形式，其中f(x,y) = xy - (1/2)y^2，∂f/∂x = y，∂f/∂y = x-y。

因此，我们可以将方程写成df = ydx + (x-y)dy = 0。

2. 求解微分方程。根据总微分形式，我们可以将方程写成df = Mdx + Ndy = 0，其中M = y，N = x-y。我们需要找到一个函数u(x,y)，使得u满足以下条件：

∂u/∂x = M 和 ∂u/∂y = N

通过积分可以得到u(x,y) = (1/2)y^2 + xy + C，其中C是常数。

因此，方程的通解为(1/2)y^2 + xy = C，其中C是任意常数。

希望这能帮助你！

求微分方程(y-1-xy)dx+xdy=0的积分因子与通解或通积分,我想要手写的过程

### 回答1：
好的，下面是求解微分方程(y-1-xy)dx+x*dy=0的过程：

首先，我们需要确定该微分方程是否为恰当微分方程。通过计算该微分方程的偏导数，我们得到：

∂(y-1-xy)/∂y = 1-x
∂(x)/∂x = 1

因为 ∂(y-1-xy)/∂y 不等于 ∂(x)/∂x，所以该微分方程不是恰当微分方程。

接下来，我们需要寻找积分因子，使得将该积分因子乘到微分方程的每一项中后，可以使该微分方程变为恰当微分方程。

积分因子的一般形式为 μ(x,y)，我们需要找到 μ(x,y) 使得：

μ(x,y)*∂(y-1-xy)/∂y - μ(x,y)*x + μ(x,y)*∂(x)/∂x*y = 0

其中，∂(y-1-xy)/∂y 和 ∂(x)/∂x*y 是该微分方程的两个不恰当项。

我们发现，该式可以写成：

(μ(x,y)*y)*∂(x)/∂x + (μ(x,y)*(1-x))*∂(y)/∂y - μ(x,y) = 0

这是一个恰当微分方程的形式，我们需要找到 μ(x,y) 使得该式成立。

我们注意到，(μ(x,y)*y) 和 (μ(x,y)*(1-x)) 是该微分方程的两个不恰当项，因此我们可以分别令它们的偏导数相等，得到两个方程：

∂(μ(x,y)*y)/∂y = ∂(μ(x,y)*(1-x))/∂x

通过对右式关于 x 求偏导数，对左式关于 y 求偏导数，然后将它们相等，得到：

y*∂(μ(x,y))/∂y - (1-x)*∂(μ(x,y))/∂x = μ(x,y)*∂(y)/∂x - ∂(x)/∂x*μ(x,y)

将微分方程带入上式，得到：

y*∂(μ(x,y))/∂y - x*μ(x,y) = 0

这是一个一阶线性微分方程，我们可以使用分离变量法来解它。将式子变形得到：

dμ(x,y)/μ(x,y) = x/y dy

对两边同时积分，得到：

ln|μ(x,y)| = 1/2x^2 + C

其中，C 是一个常数。将 e 的幂次形式应用于上式，得到：

μ(x,y) = e^(1/2x^2 + C)

因此，积分因子为 μ(x,y) = e^(1/2x^2 + C)。

接下来，我们将积分因子乘到微分方程的每

### 回答2：
首先，我们需要找到微分方程的积分因子。积分因子的定义为μ(x, y) = 1/[(My - Nx)/N], 其中N和M是方程中x和y的系数。

我们将已给的微分方程写成一般形式：(y - 1 - xy)dx + xdy = 0。

比较方程中x和y的系数，我们得到M = y - 1 - xy，N = x。

然后，计算M_y和N_x的偏导数：

M_y = 1 - x

N_x = 1

然后，代入积分因子的定义，得到积分因子μ(x, y) = 1/[(1 - x)/x] = x/(1 - x)。

接下来，我们将原方程乘以积分因子μ(x, y)，得到：

x(y - 1 - xy)dx + x^2dy = 0

化简得：xydx - x^2ydx - x^2dy + x^2dy = 0

合并同类项：xydx - x^2ydx = 0

然后，我们对上式进行分离变量，得到：

ydx - xydx = 0

区分变量并进行积分，得到：

∫ydx = ∫xydx

解得：yx = (x^2)/2 + C

因此，原微分方程的通解为：yx = (x^2)/2 + C，其中C为常数。

以上就是求解微分方程(y-1-xy)dx + xdy = 0的积分因子与通解的详细过程。

### 回答3：
首先我们需要确定积分因子。对于给定的微分方程dy(x(y-1)-xy)dx=0，我们可以通过判断以下条件来确定积分因子：

1. 方程为非恰当微分方程，即M(x,y)=y-1-xy和N(x,y)=0的偏导数不相等；
2. 通过判断N(x,y)除以y-1-xy的偏导数和M(x,y)除以x的偏导数的差是否与M(x,y)除以y的偏导数和dy(x(y-1)-xy)dx的差无关。

首先，我们计算M(x,y)和N(x,y)的偏导数：
∂M/∂y = 1-x ;
∂N/∂x = 0.

由于两个偏导数不相等，所以这是一个非恰当微分方程。

接下来，我们计算N(x,y)除以y-1-xy的偏导数和M(x,y)除以x的偏导数的差：
(∂N/∂y)/(y-1-xy) - (∂M/∂x)/x
= 0 - (1-x)/x
= x/(xy) - 1/x
= (x^2-xy)/x^2 .
而∂M/∂y的值为1-x与该差值无关。

因此，我们可以选择积分因子μ(x,y) = (xy-x^2)/x^2 = y/x - 1。

接下来，我们进行通解的求解。
将微分方程整理为(y-1-xy)dx + xdy = 0的形式。
令M(x,y) = y-1-xy，N(x,y) = x，以及μ(x,y) = y/x-1；
则方程可以重新写为(μMdx+μNdy)=0的形式，即(y/x-1)(y-1-xy)dx + (y/x-1)xdy = 0.

利用恰当微分方程的定义：∂(μM)/∂y = ∂(μN)/∂x，我们可以得到：
∂(μM)/∂y = ∂(μN)/∂x
∂(ym-y-xym)/∂y = ∂(yx-y)/∂x
m = 1.

现在我们需要找到一个函数u(x,y)，使得u(x,y)满足以下条件：
∂u/∂x = μM = (y/x-1)(y-1-xy)
∂u/∂y = μN = (y/x-1)x

我们可以通过对上述两个等式依次积分来得到u(x,y)的表达式。积分得到u(x,y)为：
u(x,y) = ∫[(y/x-1)(y-1-xy)]dx + φ(y)
其中φ(y)是关于y的积分常数函数。

现在我们需要通过对u(x,y)关于y求偏导数，然后令其等于N(x,y) = x来找到φ(y)。
∂u/∂y = [(y/x-1)x] + φ'(y)
等于N(x,y) = x，我们得到φ'(y) = 0，即φ(y)为一个常数。

因此，我们得到u(x,y) = ∫[(y/x-1)(y-1-xy)]dx + C，其中C为积分常数。

最后，通过u(x,y) = C可以得到方程的通积分为：
u(x,y) = ∫[(y/x-1)(y-1-xy)]dx + C = 0.

综上所述，微分方程的积分因子为μ(x,y) = y/x-1，通解或通积分为u(x,y) = ∫[(y/x-1)(y-1-xy)]dx + C = 0.