ydx+（x-y的6次方）dy=0的通解

对于这个微分方程，可以使用变量分离的方法求解。具体步骤如下：

1. 将 ydx + (x-y)^6 dy = 0 移项得到 ydx = (y-x)^6 dy。

2. 将方程两边同时除以 (y-x)^6，得到 y/(y-x)^6 dx = dy。

3. 对两边同时积分，得到 ∫y/(y-x)^6 dx = ∫dy + C，其中 C 为常数。

4. 对左边的积分进行变量代换，令 z = y - x，那么 y = z + x，dy = dz。

5. 将 y/(y-x)^6 dx = dy 中的 y 替换为 z + x，得到 (z + x)/(z)^6 dx = dz，即 x/z^6 dx + 1/z^5 dx = dz/z^6。

6. 对两边同时积分，得到 ∫x/z^6 dx + ∫1/z^5 dx = ln|z| + C。

7. 将变量代换 z = y - x 代回，得到 ∫x/(y-x)^6 dx + ∫1/(y-x)^5 dx = ln|y-x| + C。

因此，这个微分方程的通解为 ∫x/(y-x)^6 dx + ∫1/(y-x)^5 dx = ln|y-x| + C，其中 C 为常数。

相关问题

ydx+（x-y的6次方）dy=0的通解、y大于0

对于这个微分方程，我们可以使用同样的方法进行求解，但需要注意到 y > 0，因此在进行变量代换时，要对 y 进行取对数，得到新的变量 u = ln|y|，然后对 u 进行求导得到 du/dx = 1/y dy/dx。具体步骤如下：

1. 将 ydx + (x-y)^6 dy = 0 移项得到 ydx = (y-x)^6 dy。

2. 将方程两边同时除以 y(y-x)^6，得到 dx/y + (1-y/x)^6 dy/y = 0。

3. 对左边的第一项进行积分，得到 ∫dx/y = ln|y| + C1，其中 C1 为常数。

4. 对右边的第二项进行变量代换，令 u = ln|y|，那么 y = e^u，dy/dx = e^{-u} du/dx。

5. 将 y 和 dy/dx 替换为 e^u 和 e^{-u} du/dx，得到 (1/x - e^u/x)^6 e^{-u} du/dx = -dx/e^u。

6. 对两边同时积分，得到 ∫(1/x - e^u/x)^6 du = -∫dx/e^u + C2，其中 C2 为常数。

7. 对左边的积分进行展开和化简，得到 ∫(1/x - e^u/x)^6 du = ∫1/x^6 du - 6∫e^u/x^5 du + 15∫e^{2u}/x^4 du - 20∫e^{3u}/x^3 du + 15∫e^{4u}/x^2 du - 6∫e^{5u}/x du + ∫e^{6u} du。

8. 对右边的积分进行求解，得到 -ln|x| + C3，其中 C3 为常数。

9. 将 u = ln|y| 代回，得到 ∫(1/x - y/x)^6 (1/y) dy = ln|y| - C3 + C4，其中 C4 为常数。

因此，这个微分方程的通解为 ∫(1/x - y/x)^6 (1/y) dy = ln|y| - C3 + C4，其中 C3 和 C4 为常数。由于 y > 0，因此 |y| = y，所以可以将绝对值去掉。

ydy+xdx+xdy-ydx=0答案

这是一个常见的微积分方程，可以通过以下步骤求解：

1. 将方程化为总微分形式。对于一元函数，总微分形式为df=f'(x)dx，其中f'(x)表示导数。对于两个变量的函数，总微分形式为df=∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy。

对于给定的方程ydy + xdx - ydx = 0，我们可以将其重写为ydy + (x-y)dx = 0。这可以看作是一个二元函数y(x,y)的总微分形式，其中f(x,y) = xy - (1/2)y^2，∂f/∂x = y，∂f/∂y = x-y。

因此，我们可以将方程写成df = ydx + (x-y)dy = 0。

2. 求解微分方程。根据总微分形式，我们可以将方程写成df = Mdx + Ndy = 0，其中M = y，N = x-y。我们需要找到一个函数u(x,y)，使得u满足以下条件：

∂u/∂x = M 和 ∂u/∂y = N

通过积分可以得到u(x,y) = (1/2)y^2 + xy + C，其中C是常数。

因此，方程的通解为(1/2)y^2 + xy = C，其中C是任意常数。

希望这能帮助你！