推导BDF2解一阶常微分方程的稳定性区间
时间: 2023-09-26 17:14:44 浏览: 39
设一阶常微分方程为:
$$\frac{dy}{dt}=f(y)$$
采用BDF2格式进行离散化:
$$\frac{3y_{n+1}-4y_n+y_{n-1}}{2\Delta t}=f(y_{n+1})$$
整理得:
$$y_{n+1}-\frac{4}{3}y_n+\frac{1}{3}y_{n-1}=\frac{2}{3}\Delta tf(y_{n+1})$$
设数值解为$y_n=\lambda^n$,代入上式得到:
$$\lambda^{n+1}-\frac{4}{3}\lambda^n+\frac{1}{3}\lambda^{n-1}=\frac{2}{3}\Delta tf(\lambda^{n+1})$$
移项得到:
$$\lambda^{n+1}-\frac{2}{3}\Delta tf(\lambda^{n+1})=\frac{4}{3}\lambda^n-\frac{1}{3}\lambda^{n-1}$$
定义增量$e^n=\lambda^n-y^n$,代入上式得到:
$$e^{n+1}=(1-\frac{2}{3}\Delta f'(\lambda^{n+1}))e^n-\frac{1}{3}e^{n-1}$$
其中$f'(\lambda^{n+1})$表示$f(y)$在$y=\lambda^{n+1}$处的导数。当$e^n$的幅值趋近于0时,数值解$y_n$稳定。因此,稳定性条件为:
$$|1-\frac{2}{3}\Delta f'(\lambda^{n+1})|\leq 1$$
进一步化简可得:
$$\Delta t\leq \frac{2}{|f'(y)|}$$
因此,BDF2格式的稳定性区间为:
$$\Delta t\leq \frac{2}{|f'(y)|}$$
其中$y$是数值解的最大值或最小值。
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