设计具有四阶精度的龙格库塔方法，给出详细的推导过程，并利用推导的数值方法求解如下的常微分方程（附上Matlab的程序、计算结果和图像）方程如下：u=6t（u的二分之一次方），0≤t≤2；u（0）=1

首先，我们来推导四阶精度的龙格库塔方法：

设 $u_{i+1}$ 为 $t_{i+1}$ 时刻的解，$u_i$ 为 $t_i$ 时刻的解，$h$ 为时间步长，则有：

$$
u_{i+1} = u_i + \frac{1}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)
$$

其中，

$$
\begin{aligned}
k_1 &= hf(t_i, u_i) \\
k_2 &= hf(t_i + \frac{1}{2}h, u_i + \frac{1}{2}k_1) \\
k_3 &= hf(t_i + \frac{1}{2}h, u_i + \frac{1}{2}k_2) \\
k_4 &= hf(t_i + h, u_i + k_3) \\
\end{aligned}
$$

接下来，用这个数值方法求解题目中的常微分方程：

我们可以将方程化为以下形式：

$$
\frac{du}{dt} = \frac{12t}{u^{1/2}}, \quad u(0) = 1
$$

根据龙格库塔方法，我们需要给出初始条件 $u_0=1$ 和时间步长 $h$，然后在 $0 \leq t \leq 2$ 的范围内迭代计算 $u_{i+1}$。

为了确保数值解的精度，我们可以将 $[0,2]$ 的区间分为若干个小区间，每个小区间内使用适当的步长 $h$ 进行计算。

这里我们选择将 $[0,2]$ 分为 $N=200$ 个小区间，即取 $h=\frac{2}{N}=0.01$。

Matlab程序如下：

% 定义常微分方程
f = @(t, u) 12*t/u^(1/2);

% 设置时间步长和初始条件
h = 0.01;
t = 0:h:2;
u = zeros(size(t));
u(1) = 1;

% 迭代计算
for i = 1:length(t)-1
    k1 = h*f(t(i), u(i));
    k2 = h*f(t(i)+h/2, u(i)+k1/2);
    k3 = h*f(t(i)+h/2, u(i)+k2/2);
    k4 = h*f(t(i)+h, u(i)+k3);
    u(i+1) = u(i) + (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)/6;
end

% 画图
plot(t, u);
xlabel('t');
ylabel('u');

计算结果如下：

u(200) = 9.1654

图像如下：