龙格库塔求解常微分方程

龙格-库塔方法（Runge-Kutta method）是求解常微分方程的一种数值解法，它是一种高阶显式迭代方法，常用于求解高精度或者刚性问题。其基本思想是将微分方程的初值问题转化为离散问题，通过迭代求解离散问题得到微分方程的数值解。

常用的龙格-库塔方法有四阶和五阶龙格-库塔方法，以四阶龙格-库塔方法为例，它的迭代公式如下：

$$
\begin{aligned}
k_1 &= f(x_n, y_n) \\
k_2 &= f\Big(x_n+\frac{h}{2}, y_n+\frac{h}{2}k_1\Big) \\
k_3 &= f\Big(x_n+\frac{h}{2}, y_n+\frac{h}{2}k_2\Big) \\
k_4 &= f(x_n+h, y_n+hk_3) \\
y_{n+1} &= y_n + \frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)
\end{aligned}
$$

其中，$f(x,y)$ 是微分方程的右端函数，$y_n$ 是第 $n$ 步的数值解，$y_{n+1}$ 是第 $n+1$ 步的数值解，$h$ 是步长，$k_1, k_2, k_3, k_4$ 是中间变量。

这个公式表示了从 $y_n$ 出发，通过计算 $k_1, k_2, k_3, k_4$ 四个中间变量，然后按照加权平均的方式计算出 $y_{n+1}$ 的值。其中，$k_1$ 表示在 $y_n$ 处的斜率，$k_2$ 表示在 $y_n$ 和 $y_{n+1/2}$ 之间的斜率，$k_3$ 表示在 $y_n$ 和 $y_{n+1/2}$ 之间的斜率，$k_4$ 表示在 $y_{n+1}$ 处的斜率。

通过逐步迭代，使用龙格-库塔方法可以得到微分方程的数值解。