用四阶龙格库塔方法求解一个电流的三阶微分方程
时间: 2023-11-25 11:08:13 浏览: 30
首先,将三阶微分方程转化为一组三个一阶微分方程。假设电流 $i(t)$,则有:
$$
\begin{aligned}
\frac{di}{dt} &= x \\
\frac{dx}{dt} &= y \\
\frac{dy}{dt} &= f(t,i,x,y)
\end{aligned}
$$
其中 $f(t,i,x,y)$ 是根据具体问题确定的函数。
然后,我们可以使用四阶龙格库塔方法求解上述一阶微分方程组。假设 $i_n$,$x_n$,$y_n$ 分别是第 $n$ 步的近似解,则有:
$$
\begin{aligned}
k_1 &= h\cdot f(t_n, i_n, x_n, y_n) \\
l_1 &= h\cdot y_n \\
m_1 &= h\cdot x_n \\
\\
k_2 &= h\cdot f(t_n + \frac{h}{2}, i_n + \frac{k_1}{2}, x_n + \frac{m_1}{2}, y_n + \frac{l_1}{2}) \\
l_2 &= h\cdot (y_n + \frac{l_1}{2}) \\
m_2 &= h\cdot (x_n + \frac{m_1}{2}) \\
\\
k_3 &= h\cdot f(t_n + \frac{h}{2}, i_n + \frac{k_2}{2}, x_n + \frac{m_2}{2}, y_n + \frac{l_2}{2}) \\
l_3 &= h\cdot (y_n + \frac{l_2}{2}) \\
m_3 &= h\cdot (x_n + \frac{m_2}{2}) \\
\\
k_4 &= h\cdot f(t_n + h, i_n + k_3, x_n + m_3, y_n + l_3) \\
l_4 &= h\cdot (y_n + l_3) \\
m_4 &= h\cdot (x_n + m_3) \\
\\
i_{n+1} &= i_n + \frac{1}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) \\
x_{n+1} &= x_n + \frac{1}{6}(m_1 + 2m_2 + 2m_3 + m_4) \\
y_{n+1} &= y_n + \frac{1}{6}(l_1 + 2l_2 + 2l_3 + l_4) \\
\\
t_{n+1} &= t_n + h
\end{aligned}
$$
其中 $h$ 是步长,$t_n$ 是第 $n$ 步的时间。
通过不断迭代上述公式,我们可以得到电流的数值解。