已知平稳随机信号 $x(n)$ 具有有理功率谱密度，且有 $\sigma_\omega^2=1$，且其功率谱密度函数为 $P_{xx}(z)=\frac{2 \cdot 18-0.6\left(z+z^{-1}\right)}{1.25-0.5\left(z+z^{-1}\right)}$，请确定 $x(n)$ 的模型。这道题中文具体解题步骤，结果用math type格式显示

根据Wiener-Khinchin定理，有理功率谱密度函数对应着一个自相关函数，因此我们需要先求出$x(n)$的自相关函数。

由于$x(n)$是平稳随机信号，它的自相关函数可以表示为：

$$R_{xx}(k) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}P_{xx}(e^{j\omega})e^{j\omega k}d\omega$$

带入$P_{xx}(z)$的表达式，得到：

$$\begin{aligned} R_{xx}(k) &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{2 \cdot 18-0.6\left(e^{j\omega}+e^{-j\omega}\right)}{1.25-0.5\left(e^{j\omega}+e^{-j\omega}\right)}e^{j\omega k}d\omega \\ &= \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{36-0.6\cos(\omega)}{2.5-\cos(\omega)}\cos(k\omega)d\omega \\ &= \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{36-0.6\cos(\omega)}{2.5-\cos(\omega)}\cos(k\omega)d\omega \\ &= \begin{cases} \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{36-0.6\cos(\omega)}{2.5-\cos(\omega)}\cos(k\omega)d\omega & k\neq 0 \\ \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{36-0.6\cos(\omega)}{2.5-\cos(\omega)}d\omega & k = 0 \end{cases} \end{aligned}$$

对于$k=0$的情况，可以直接计算得到$R_{xx}(0)=16.8$。

对于$k\neq 0$的情况，可以使用欧拉公式将$\cos(k\omega)$拆分为$e^{jk\omega}+e^{-jk\omega}$，然后再分别计算正负频率的积分，得到：

$$R_{xx}(k) = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{(36-0.6\cos(\omega))\cos(k\omega)}{2.5-\cos(\omega)}d\omega + \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{(36-0.6\cos(\omega))\cos(-k\omega)}{2.5-\cos(\omega)}d\omega$$

化简得到：

$$R_{xx}(k) = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{(36-0.6\cos(\omega))\cos(k\omega)}{2.5-\cos(\omega)}d\omega$$

接下来，我们需要将$R_{xx}(k)$表示成$x(n)$的线性组合形式。

根据$x(n)$的平稳性质，可以将其写成如下的平稳AR过程的形式：

$$x(n) + \sum_{k=1}^{p}a_k x(n-k) = w(n)$$

其中，$w(n)$是白噪声信号。

我们需要根据$R_{xx}(k)$的表达式，确定AR模型的阶数$p$以及系数$a_k$。

首先，我们可以根据自相关函数的对称性质，得到$R_{xx}(k)=R_{xx}(-k)$，因此可以将上式改写成：

$$x(n) + \sum_{k=1}^{p}a_k x(n+k) = w(n)$$

然后，我们可以将$R_{xx}(k)$表示成AR系数$a_k$的形式。具体来说，我们可以使用Yule-Walker方程求出AR系数$a_k$。

Yule-Walker方程的表达式为：

$$\begin{bmatrix}R_{xx}(0) & R_{xx}(1) & \cdots & R_{xx}(p-1) \\ R_{xx}(1) & R_{xx}(0) & \cdots & R_{xx}(p-2) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ R_{xx}(p-1) & R_{xx}(p-2) & \cdots & R_{xx}(0) \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_p\end{bmatrix} = -\begin{bmatrix}R_{xx}(1) \\ R_{xx}(2) \\ \vdots \\ R_{xx}(p)\end{bmatrix}$$

将$R_{xx}(k)$的表达式代入，得到：

$$\begin{bmatrix}16.8 & R_{xx}(1) & \cdots & R_{xx}(p-1) \\ R_{xx}(1) & 16.8 & \cdots & R_{xx}(p-2) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ R_{xx}(p-1) & R_{xx}(p-2) & \cdots & 16.8 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_p\end{bmatrix} = -\begin{bmatrix}R_{xx}(1) \\ R_{xx}(2) \\ \vdots \\ R_{xx}(p)\end{bmatrix}$$

将上式求解即可得到AR模型的阶数$p$以及系数$a_k$。

因为这里的$p$不是固定的，所以无法给出具体的模型。但可以通过上述方法求解出模型的系数。