已知平稳随机信号 $x(n)$ 具有有理功率谱密度,且有 $\sigma_\omega^2=1$,且其功率谱密度函数为 $P_{xx}(z)=\frac{2.18-0.6\left(z+z^{-1}\right)}{1.25-0.5\left(z+z^{-1}\right)}$,请确定 $x(n)$ 的模型。这道题中文具体解题步骤,结果用math type格式显示
时间: 2023-07-24 15:19:36 浏览: 56
由于该随机信号具有有理功率谱密度,因此可以使用自回归(AR)模型描述。功率谱密度函数 $P_{xx}(z)$ 是 AR 模型系数的函数,可以通过将 $P_{xx}(z)$ 化简成 AR 模型的形式求解。
首先将 $P_{xx}(z)$ 化简:
$$
\begin{aligned}
P_{xx}(z) &= \frac{2.18-0.6\left(z+z^{-1}\right)}{1.25-0.5\left(z+z^{-1}\right)} \\
&= \frac{2.18}{1.25} - \frac{0.6}{1.25} \cdot \frac{z+z^{-1}}{1-0.5\left(z+z^{-1}\right)} \\
&= 1.744 - 0.48\frac{z+z^{-1}}{1-0.5\left(z+z^{-1}\right)}
\end{aligned}
$$
可以看出,$P_{xx}(z)$ 的形式为:
$$
P_{xx}(z) = \frac{\sigma_a^2}{\left|1-\sum_{i=1}^pa_iz^{-i}\right|^2} = \frac{\sigma_a^2}{1+\sum_{i=1}^p\left(a_i+a_{i-1}\right)z^{-i}+\sum_{i=1}^{p-1}a_ia_{i+1}z^{-2i}}
$$
因此,比较两个式子,可以得到:
$$
\begin{cases}
\sigma_a^2 = 1.744 \\
a_1 + a_0 = -0.48 \\
a_1a_0 = -0.24
\end{cases}
$$
解这个方程组,可以得到:
$$
\begin{cases}
a_0 \approx 0.402 \\
a_1 \approx -0.878 \\
\sigma_a^2 = 1.744
\end{cases}
$$
因此,随机信号 $x(n)$ 的模型为:
$$
x(n) = 0.402x(n-1) - 0.878x(n-2) + \omega(n)
$$
其中,$\omega(n)$ 是均值为 $0$,方差为 $1$ 的白噪声。