5. Set the auto-correlation functions as $r_{x x}(k)=\rho^k, k=1,2,3$ respectively. Please calculate the parameters of $A R(3)$ process by solving Yule-Walker equation.这道题中文具体解题步骤
时间: 2023-12-06 11:42:52 浏览: 40
这道题中要求根据自相关函数计算 $AR(3)$ 过程的参数,需要使用 Yule-Walker 方程。
首先,由于 $AR(3)$ 过程的自相关函数可以表示为:
$$
r_{xx}(k) = \rho_1 r_{xx}(k-1) + \rho_2 r_{xx}(k-2) + \rho_3 r_{xx}(k-3) + \sigma_w^2 \delta(k)
$$
其中,$\rho_i$ 表示自回归系数,$\sigma_w^2$ 表示噪声方差,$\delta(k)$ 表示克罗内克 delta 函数。根据题意,我们已知 $r_{xx}(1)=\rho, r_{xx}(2)=\rho^2, r_{xx}(3)=\rho^3$,因此可以列出以下方程组:
$$
\begin{aligned}
\rho &= \rho_1 \rho + \sigma_w^2 \\
\rho^2 &= \rho_1 \rho^2 + \rho_2 \rho + \sigma_w^2 \\
\rho^3 &= \rho_1 \rho^3 + \rho_2 \rho^2 + \rho_3 \rho + \sigma_w^2
\end{aligned}
$$
将第一个方程式中的 $\rho_1$ 移到左侧,可得:
$$
\rho_1 = \frac{\rho-\sigma_w^2}{\rho}
$$
将第二个方程式中的 $\rho_1 \rho^2$ 和 $\sigma_w^2$ 移到左侧,可得:
$$
\rho_2 = \frac{\rho^2 - \rho_1 \rho^2 - \sigma_w^2}{\rho} = \frac{\rho^2 - (\rho-\sigma_w^2)\rho^2 - \sigma_w^2}{\rho} = \frac{\rho^2 - \rho\sigma_w^2}{\rho^2}
$$
同理,将第三个方程式化简可得:
$$
\rho_3 = \frac{\rho^3 - \rho_1 \rho^3 - \rho_2 \rho^2 - \sigma_w^2}{\rho} = \frac{\rho^3 - (\rho-\sigma_w^2)\rho^3 - (\rho^2 - \rho\sigma_w^2) \rho - \sigma_w^2}{\rho^3}
$$
化简后可得:
$$
\rho_3 = \frac{\rho^3 - \rho^3 + \rho^2 \sigma_w^2 - \rho \sigma_w^2}{\rho^3} = \frac{\sigma_w^2 (\rho^2 - \rho)}{\rho^3}
$$
因此,我们求出了 $AR(3)$ 过程的自回归系数 $\rho_1, \rho_2, \rho_3$,以及噪声方差 $\sigma_w^2$。
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