4. The auto-correlation function of a stationary process $x(n)$ is given by: (1) $r_{x x}(k)=0.5^{|k|}, \quad$ for all $k$. (2) $r_{x x}(k)=0.5^{|k|}+(-0.5)^{|k|}, \quad$ for all $k$. Please determine the model that generates $x(n)$.这道题中文具体解题步骤

这道题考察的是根据自相关函数求解随机过程的模型，根据Wiener-Khinchin定理，自相关函数与功率谱密度存在傅里叶变换关系：
$$
r_{xx}(k)=\mathcal{F}^{-1}\{P_{xx}(f)\}(k)
$$
因此，我们需要根据自相关函数求解功率谱密度。

对于第一问，自相关函数为：
$$
r_{xx}(k)=\begin{cases} 0.5^k, & k\geq 0 \\ 0.5^{-k}, & k<0\end{cases}
$$
因此，功率谱密度为：
$$
P_{xx}(f)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}r_{xx}(k)e^{-j2\pi kf}=\sum_{k=-\infty}^{\infty}0.5^{|k|}e^{-j2\pi kf}=\frac{1}{1-0.5e^{-j2\pi f}}+\frac{1}{1-0.5e^{j2\pi f}}-1
$$
可以发现，这是一个无限长的幅度为$\frac{1}{1-0.5e^{-j2\pi f}}$的等间距脉冲串的频谱，因此该随机过程可以表示为一个无限长等间距脉冲串的加权和，即：
$$
x(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_k \delta(n-kN), \quad a_k=\begin{cases} A, & k\geq 0 \\ B, & k<0\end{cases}
$$
其中，$\delta(n)$为单位脉冲函数，$N$为脉冲间隔，$A$和$B$为加权系数，由于该过程是宽平稳的，因此加权系数与脉冲间隔无关，只与自相关函数的值有关。

对于第二问，自相关函数为：
$$
r_{xx}(k)=\begin{cases} 1.5^k, & k\geq 0 \\ 1.5^{-k}-0.5^{|k|}, & k<0\end{cases}
$$
因此，功率谱密度为：
$$
P_{xx}(f)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}r_{xx}(k)e^{-j2\pi kf}=\sum_{k=-\infty}^{\infty}(0.5^{|k|}+(-0.5)^{|k|})e^{-j2\pi kf}=\frac{1}{1-0.5e^{-j2\pi f}}+\frac{1}{1+0.5e^{j2\pi f}}-2
$$
可以发现，该功率谱密度与第一问的功率谱密度类似，也是一个幅度为$\frac{1}{1-0.5e^{-j2\pi f}}$的等间距脉冲串的频谱，只是加了一个幅度为$-1$的直流分量，因此该随机过程可以表示为一个无限长等间距脉冲串的加权和再加上一个常数，即：
$$
x(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_k \delta(n-kN)+C, \quad a_k=\begin{cases} A, & k\geq 0 \\ B, & k<0\end{cases}
$$
其中，$C$为常数。