层次分析法数学建模具体例题

层次分析法是一种用于处理复杂决策问题的数学建模方法。其具体步骤包括：确定层次结构、构建判断矩阵、计算权重向量、一致性检验和综合评价等。

下面以一个具体例题来说明层次分析法的应用：

假设你要在三个城市（A、B、C）中选择一个旅游目的地，你考虑了以下三个因素：自然景观、文化氛围和旅游设施。请使用层次分析法进行决策。

第一步：确定层次结构

- 目标层（选择旅游目的地）
- 准则层（自然景观、文化氛围、旅游设施）
- 方案层（城市 A、B、C）

第二步：构建判断矩阵

对于准则层，我们需要构建判断矩阵，即对准则之间的重要程度进行比较，得到一个 n×n 的矩阵。假设自然景观、文化氛围和旅游设施三个准则的重要程度分别为 a、b、c，则判断矩阵为：

  A     B     C
自然景观   a     1/3   3
文化氛围   3     b     1/3
旅游设施   1/3   3     c

其中，对于任意的 a、b、c，我们需要满足以下三个条件：

1. 主对角线上的元素都为 1；
2. 关于主对角线对称；
3. 每列元素之和为 1。

第三步：计算权重向量

通过对判断矩阵进行特征值分解和归一化处理，可以得到每个准则的权重向量。这里我们不再介绍具体的计算过程，假设得到的权重向量分别为 w1、w2、w3，则有：

w1 = [0.375, 0.675, 0.225]
w2 = [0.45, 0.25, 0.45]
w3 = [0.175, 0.075, 0.325]

第四步：一致性检验

通过计算一致性指标和一致性比例，可以判断判断矩阵是否合理。这里我们不再介绍具体的计算过程，假设得到一致性比例 CR = 0.04，小于 0.1，则认为判断矩阵合理。

第五步：综合评价

通过将方案层的指标与准则层的权重向量相乘，并对结果进行加权平均，可以得到每个方案的得分。假设城市 A、B、C 在自然景观、文化氛围、旅游设施三个指标上的得分分别为：

  自然景观   文化氛围   旅游设施
A    0.8      0.7      0.6
B    0.6      0.8      0.7
C    0.7      0.6      0.8

则可以得到每个城市的综合得分为：

A：0.375*0.8 + 0.45*0.7 + 0.175*0.6 = 0.708
B：0.375*0.6 + 0.25*0.8 + 0.075*0.7 = 0.481
C：0.225*0.6 + 0.45*0.7 + 0.325*0.8 = 0.686

因此，你应该选择城市 A 作为旅游目的地。