某船厂有 100 种余料，客户提出 5 种型材的要求，数据见附件 1，试从 100 种余料 中找出与客户要求相匹配的余料，使得该余料切割成客户要求的型材后，所剩下的废料最少， 该怎么建立数学模型来解决余料匹配方式（不考虑切割损耗和切割费用）。

### 回答1：
假设客户要求的 5 种型材分别为 A、B、C、D、E，每种型材的长度和数量如下表所示：

| 型材 | 长度（mm） | 数量 |
| --- | --- | --- |
| A | 7000 | 10 |
| B | 6000 | 8 |
| C | 5000 | 12 |
| D | 4000 | 15 |
| E | 3000 | 20 |

假设余料的编号为 1 ~ 100，每种余料的长度和数量如附件 1 所示。为了方便建立数学模型，我们先将余料按长度从大到小排序，同样将型材按长度从大到小排序。

首先考虑如何匹配余料和型材。对于每种型材，我们从长度最长的余料开始匹配，如果长度超过了型材要求，则匹配下一种余料，直到匹配成功或者没有余料可供匹配。因此，我们需要建立一个 100x5 的 0-1 矩阵来表示余料和型材的匹配情况，矩阵中的元素 a[i][j] 表示第 i 个余料是否可以匹配第 j 种型材，1 表示可以匹配，0 表示不能匹配。

其次考虑如何计算废料的数量。对于每种型材，我们需要找到可用的余料中最长的一块，并计算剩余部分的长度，这个长度就是废料的长度。因此，我们需要建立一个 5x2 的数组来存储每种型材的长度和剩余废料的长度。数组中的元素 b[i][0] 表示第 i 种型材的长度，b[i][1] 表示第 i 种型材的剩余废料长度。

综上所述，我们可以将问题建立为一个整数规划模型：

目标函数：

min Z = ∑(i=1 to 100)∑(j=1 to 5) a[i][j] * l[i] - ∑(i=1 to 5) b[i][1]

其中，l[i] 表示第 i 个余料的长度。

约束条件：

1. 每种型材的数量不超过客户要求的数量：

∑(i=1 to 100) a[i][j] <= n[j]，其中 n[j] 表示客户要求的第 j 种型材的数量。

2. 每块余料只能匹配一种型材：

∑(j=1 to 5) a[i][j] = 1，其中 i 表示第 i 个余料。

3. 废料的长度等于余料长度减去型材长度：

b[j][1] = b[j][0] - ∑(i=1 to 100) a[i][j] * l[i]，其中 j 表示第 j 种型材。

4. 废料的长度不能为负数：

b[j][1] >= 0，其中 j 表示第 j 种型材。

5. a[i][j] 和 b[j][1] 都是 0 或 1。

这个整数规划模型可以用线性规划求解器进行求解，得到最小废料长度和匹配方案。

### 回答2：
为了解决余料匹配方式问题，我们可以建立以下数学模型：

假设余料的集合为A = {a1, a2, ..., a100}，客户要求的型材集合为B = {b1, b2, b3, b4, b5}。其中，a1表示第1种余料，b1表示第1种型材。

设变量xij表示第i种余料选择切割成第j种型材的数量，其中i = 1, 2, ..., 100，j = 1, 2, 3, 4, 5。

根据题目要求，我们需要满足以下条件：
1. 每种余料只能选择切割成一种型材，即∑xij = 1，其中j = 1, 2, 3, 4, 5。
2. 切割后剩余的废料数量最少，即需要最小化废料的总量。此处，我们可以设变量yi表示第i种余料切割后的废料数量。
则第i种余料切割后的废料数量可以表示为：yi = (废料总量) - ∑xij * (切割系数)，其中废料总量为该种余料的总长度，切割系数为余料切割成第j种型材的长度。

综上所述，可以建立以下最小化问题的数学模型：
Minimize：∑yi
subject to：
∑xij = 1，i = 1, 2, ..., 100
yi = (废料总量) - ∑xij * (切割系数)，i = 1, 2, ..., 100
xij ≥ 0，i = 1, 2, ..., 100，j = 1, 2, 3, 4, 5

该数学模型可以通过线性规划方法求解，得到最小废料的匹配方案。

### 回答3：
为了解决余料匹配方式的问题，我们可以建立一个数学模型来进行求解。以下是解题步骤：

1. 定义变量：
- xij 表示第i种余料是否符合第j种型材的要求，取值为0或1。
- yi 表示选择第i种余料后剩下的废料重量。

2. 建立目标函数：
- 目标是使得剩余废料最少，因此目标函数为：minimize，Sum(yi)，i取值范围为1到100。

3. 建立约束条件：
- 每一种型材只能使用一种余料，因此需要设置约束条件：Sum(xij) = 1，i取值范围为1到100，j取值范围为1到5。
- 每一种余料只能被选择一次，因此还需要设置约束条件：Sum(xi1) = 1，i取值范围为1到100；Sum(xi2) = 1，i取值范围为1到100；...；Sum(xi5) = 1，i取值范围为1到100。

4. 其他约束条件：
- xij 的取值为0或1，即每一种型材只能选择一种余料，所以需要设置约束条件：xij取值范围为0或1。
- 剩余废料的重量必须大于等于0，即yi >= 0。

5. 采用整数规划方法求解该数学模型。

通过以上模型的建立，可以得到一个最优解，即找到了从100种余料中与客户要求相匹配的余料，并使得切割成客户要求的型材后，所剩下的废料最少的匹配方式。