基于自平衡车的二级倒立摆LQR控制系统设计

自平衡车的二级倒立摆LQR控制系统设计是一种基于线性二次正则化（LQR）的控制方法，其中，控制器管理车辆的二级倒立摆，使其在竖直方向上保持平衡。LQR控制器使用状态反馈来计算理论最佳控制输入，将其应用于车辆的电机以控制车辆的加速度和速度。

LQR控制器使用状态空间方程来描述系统，即：

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}= Ax+B u$$

其中， $x$ 是状态变量向量，包括车辆的角度和角速度， $u$ 是控制输入，包括电机输出的电压和扭矩。 $A$ 和 $B$ 是状态空间矩阵。

基于LQR控制器的设计，需要首先定义系统的性能指标。一种常见的指标是最小化系统的二次型成本函数：

$$J=\int_0^{\infty}(x^T Q x + u^T R u) \mathrm{d}t$$

其中， $Q$ 和 $R$ 是正定矩阵，用于权衡控制输入和状态对系统性能的影响。

LQR控制器的设计涉及两个步骤：

1. 计算系统的状态向量反馈增益矩阵 $K$。
2. 将增益矩阵应用于控制器中。

计算增益矩阵需要使用系统的状态方程和成本函数，并通过求解代数里奇方程（ARE）来获得。这个方程是一个允许我们求解 $K$ 的代数方程。

将增益矩阵应用于控制器中，可以得到控制输入的表达式：

$$u=-Kx$$

通过将这个式子代入到状态方程中，我们可以获得一个反馈控制器，该控制器可以将车辆中的偏差恢复到平衡状态。