基于自平衡车的二级倒立摆LQR控制系统

自平衡车是一种具有双轮车体和水平姿态保持能力的智能机器人，具有广泛的应用前景。其控制系统主要包括运动控制和姿态控制两个部分，其中姿态控制是关键。在姿态控制中，二级倒立摆是一个经典的动态系统，是自平衡车姿态控制的基础。因此，本文提出了一种基于自平衡车的二级倒立摆LQR控制系统。

LQR控制是一种优化控制方法，是一种经典的线性控制方法。其基本思想是通过权重矩阵Q和R来优化控制效果，将系统状态从当前状态调整到期望状态。在自平衡车的姿态控制中，LQR控制可以用于设计控制器，控制车身的前后倾斜角度，使其保持稳定。

在本文中，我们采用了二级倒立摆模型来建立自平衡车的姿态控制系统。该系统包括两个质量、弹性、摩擦等属性的刚性杆，上杆代表车身，下杆代表车轮。根据牛顿力学定律，可以得到二级倒立摆的动态方程：

$$m_1l_1\ddot{\theta_1}-(m_1+m_2)gl_1\sin\theta_1+m_2l_1l_2\ddot{\theta_2}\cos(\theta_1-\theta_2)-(m_1+m_2)l_1l_2\dot{\theta_2}^2\sin(\theta_1-\theta_2)=u_1$$

$$m_2l_2\ddot{\theta_2}-m_2gl_2\sin\theta_2+m_2l_1l_2\ddot{\theta_1}\cos(\theta_1-\theta_2)+m_2l_1l_2\dot{\theta_1}^2\sin(\theta_1-\theta_2)=u_2$$

其中，$m_1$和$m_2$分别是车身和车轮的质量，$l_1$和$l_2$分别是车轴和车轮轴长度，$g$是重力加速度，$\theta_1$和$\theta_2$是车身和车轮的倾角，$u_1$和$u_2$分别是两个电机的输入。

根据动态方程可以设计状态反馈控制器，将状态向量$x=[\theta_1,\theta_2,\dot{\theta_1},\dot{\theta_2}]$作为反馈变量，控制输入为$u=[u_1,u_2]$，可以得到如下状态反馈矩阵：

$$\dot{x}=Ax+Bu$$

$$A=\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\-m_2g/l_1&-m_2g/l_2&0&0\\(m_1+m_2)g/l_1&-(m_1+m_2)g/l_2&0&0\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}0&0\\0&0\\1/m_1&0\\0&1/m_2\end{bmatrix}$$

LQR控制利用二次型函数来描述控制系统的性能，即寻求一个状态反馈矩阵K，使得二次性能指标最小。在本文中，我们将控制效果的重点放在车体的倾斜角，因此Q矩阵对应的权重主要放在$\theta_1$和$\theta_2$上，而R矩阵对应的权重主要放在电机输入量上，即$u_1$和$u_2$。

$$J=\int_{0}^{\inf}(x^TQx+u^TRu)dt$$

根据LQR控制的方法，可以求解最优反馈系数矩阵K：

$$K=-(B^TPB+R)^{-1}B^TPA$$

其中P为代数矩阵，是利用Lyapunov方程求解的。

最终，将求解得到的K值用于控制系统的反馈控制器中，即可实现对车体的姿态控制。

本文的二级倒立摆LQR控制系统可以作为自平衡车姿态控制方案的一个基础，能够实现对车体的前后倾斜角度的控制，为自平衡车的应用提供了更加完整和系统的控制方案。