现在有面额分别为1、2、5元的硬币数，总金额11元，计算并返回可以凑成总金额所需的最少硬币个数。若没有组合能组成总金额，则返回-1。给出采用递归法求解的解题思路以及重复计算的次数

这是一个经典的动态规划问题，通常用贪心算法或回溯算法（递归）来解决。使用递归法的解题思路如下：

1. 定义一个函数`minCoins(coins, amount, count=0)`，参数`coins`是一个数组存储硬币面额，`amount`是要找零的金额，`count`表示当前已使用的硬币数量。
2. 基本情况：如果`amount`为0，说明已经找到了正确的组合，返回`count`作为结果；如果`amount`小于0或者`count`超过最大可能的硬币数量，说明无法凑出总金额，返回-1。
3. 递归步骤：对于每个硬币面额`coins[i]`，尝试两种情况：
a. 如果`amount`大于等于`coins[i]`，那么可以使用这个硬币，更新`amount`为`amount - coins[i]`，`count`加1，然后继续调用`minCoins`函数。
b. 如果`amount`小于`coins[i]`，跳过这次尝试，因为更大的硬币不能用来凑更小的金额。
4. 在每次递归调用中，都要保存子问题的解，避免重复计算。可以使用一个二维数组`dp`来记录每个金额和硬币数对应的情况，这样在后续的递归过程中，只需要查找已经计算过的值。

重复计算的次数会随着问题规模的增长而指数级增加，因为每次递归都会生成一个新的子问题。具体次数取决于硬币面额的数量和总金额，理论上最坏情况下会达到O(2^n)，其中n是硬币面额的数量。

相关问题

问题描述：零钱兑换问题 现在有面额分别为1、2、5元的硬币数，总金额11元，计算并返回可以凑成总金额所需的最少硬币个数。若没有组合能组成总金额，则返回-1。给出采用递归法求解的解题思路以及重复计算的次数，要求画出递归图解过程。

零钱兑换问题，也称为找零问题，是一个经典的动态规划和递归问题。给定一定面额（例如1元、2元和5元硬币），目标是找出最少数量的硬币组合，以达到给定的总金额。这是一个贪心算法不适用的情况，因为不是总是使用最大面额的硬币能得到最少硬币数。

解题思路（递归方法）：
1. 定义一个递归函数，比如`minCoins(amount, coins)`, 其中`amount`是剩余需要找零的金额，`coins`是一个列表，包含当前可用的硬币面额。
2. 基本情况：
- 如果`amount`为0，表示已经找到了足够的硬币组合，返回0，代表不需要额外硬币。
- 如果`amount`小于等于0，意味着已经有了更多的硬币（可能不需要），返回-1，表示无法组成给定金额。
3. 递归情况：
- 遍历硬币列表`coins`中的每个面额，对于每个面额`coin`，如果`amount`大于`coin`，尝试用一个`coin`替换部分或全部的`amount`，然后递归调用`minCoins(amount - coin, coins)`，加上1（表示当前硬币的数量）作为结果。
4. 返回最小的递归结果，即找到所有可行组合中硬币数最少的那个。

重复计算次数：
递归方法会重复计算很多相同的子问题，例如对于不同的剩余金额`amount`，可能会对每个硬币面额都进行同样的尝试。这种情况下，重复计算次数是指数级别的，因为每个递归调用会产生两个新的子问题。

递归图解过程：
你可以用一个树状结构来表示递归过程，根节点表示总金额，向下分支表示使用不同面额的硬币。每层代表一次递归，分支数对应当前可选的硬币面额，每个节点的值是剩余金额或结果（-1或硬币数）。由于有重叠子问题，部分路径会被多次遍历。

用python写给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。 计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。 你可以认为每种硬币的数量是无限的。

在Python中，这个问题可以使用动态规划（Dynamic Programming）来解决。我们可以创建一个长度为`amount+1`的列表dp，其中`dp[i]`代表用硬币凑出金额i所需的最小硬币数。初始化所有dp值为无穷大（通常设置为sys.maxsize），除了dp[0]设为0，因为不需要硬币就能得到0元。

然后，遍历每个硬币面额`coins[j]`，对于每个`i`（从coins[j]到amount），更新`dp[i]`为`dp[i-coins[j]] + 1`，如果这个新值小于当前的dp[i]，就更新它。这是因为我们考虑了使用一枚面额为`coins[j]`的硬币来凑`i`元的情况，如果这样做比之前更优，我们就接受这个方案。

最后，如果`dp[amount]`仍然是无穷大，说明无法用给定的硬币凑出指定的金额，返回-1；否则，返回`dp[amount]`就是所需的最少硬币数。

以下是Python代码实现：

import sys

def coinChange(coins, amount):
    dp = [sys.maxsize] * (amount + 1)
    dp[0] = 0

    for coin in coins:
        for i in range(coin, amount + 1):
            if dp[i - coin] != sys.maxsize:
                dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)

    return dp[amount] if dp[amount] != sys.maxsize else -1