割点和割边是什么意思

在图论中，割点（Cut Vertex）和割边（Bridge）是用来描述图的连通性的概念。

割点，也称为割顶或关节点，是指在一个无向图中，如果去掉某个顶点（以及与该顶点相连的边），会导致原图的连通性发生变化，那么这个顶点就被称为割点。具体来说，如果在一个无向图中去掉某个割点，会使得原图分裂成两个或多个部分，即原图不再是连通图。

割边则是指在一个无向图中，如果去掉某条边（以及这条边连接的两个顶点），会使得原图的连通性发生变化，那么这条边就被称为割边。简单来说，如果去掉一条割边，会导致图分裂成至少两个不连通的子图。

割点和割边在图的可靠性分析、网络设计以及算法研究中有着重要的应用。

相关问题

拓扑排序、割点与割边、强连通分量

拓扑排序、割点与割边以及强连通分量是图论中的重要概念和算法。

1. 拓扑排序（Topological Sorting）：
拓扑排序是对有向无环图（DAG）进行排序的一种算法。拓扑排序可以得到一个顶点的线性序列，使得对于任意一条有向边(u, v)，在序列中顶点u都排在顶点v的前面。拓扑排序常用于表示任务之间的依赖关系，例如在工程项目中确定任务的执行顺序。

2. 割点与割边（Cut Vertex and Cut Edge）：
割点是指在无向连通图中，如果移除该顶点以及与该顶点相连的所有边，会导致图不再连通，则该顶点被称为割点。割边是指在无向连通图中，如果移除该边，会导致图不再连通，则该边被称为割边。割点和割边的存在可以影响到图的连通性，因此在网络设计、通信等领域有着重要的应用。

3. 强连通分量（Strongly Connected Component）：
强连通分量是指在有向图中，如果对于图中任意两个顶点u和v，存在从u到v和从v到u的路径，那么称u和v在同一个强连通分量中。强连通分量可以将有向图的顶点划分成若干个子集，每个子集内的顶点之间互相可达。强连通分量可以用于分析网络中的关键节点，寻找网络的可靠性，以及在编译器设计中进行代码优化等领域。

这些概念和算法在图论中都有着广泛的应用，并且还有许多相关的算法和扩展。深入理解和掌握这些概念和算法，可以帮助我们更好地理解和解决各种与图相关的问题。

证明：恰有两个顶点不是割点的简单连通图是一条路

这是一个经典的结论。我们考虑对于一个简单连通图 $G$，如果 $G$ 中恰有两个顶点不是割点，那么 $G$ 一定是一条路。

证明如下：

假设 $G$ 中恰有两个顶点不是割点，在 $G$ 中任选一个割点 $u$，删去 $u$ 后 $G$ 被分成若干连通块。由于 $u$ 是割点，所以至少有两个连通块，我们称其为 $G_1,G_2$。此时，$G$ 的两个不是割点的顶点必定在 $G_1,G_2$ 中各一个。

假设这两个顶点分别为 $x\in G_1,y\in G_2$。那么考虑在 $G$ 中从 $x$ 到 $y$ 的一条路径 $P$，由于 $G$ 是连通的，所以这样的一条路径一定存在。

如果 $P$ 本身就在一个连通块中，那么 $u$ 不是割点就矛盾了。

如果 $P$ 不在一个连通块中，那么 $P$ 必定经过 $u$，我们把 $P$ 分成两部分 $P_1,P_2$，分别在 $G_1,G_2$ 中。此时，由于 $u$ 是割点，所以 $P_1,P_2$ 中必定至少有一个不存在，假设不存在 $P_1$，那么 $x$ 在 $G_1$ 中，$y$ 在 $G-u$ 中，由于 $u$ 是割点，所以 $G-u$ 不连通，所以 $y$ 一定在 $G_2$ 中，那么 $P_2$ 不存在，矛盾。

综上所述，$G$ 一定是一条路。