图的割点和割边

# 1. 引言
## 1.1 介绍图的割点和割边的概念
## 1.2 探究图的割点和割边在实际应用中的重要性

在本章中，我们将首先介绍图的割点和割边的基本概念，然后探讨它们在实际应用中的重要性。通过对割点和割边的理解，我们可以更好地应用它们在网络安全、交通规划、社交网络分析等领域，发挥它们的作用。
## 2. 图的割点

### 2.1 定义和性质

在图论中，割点（Articulation Point），也被称为关节点，是指在无向连通图中，去除该节点以及与该节点相关的所有边后，图会变成非连通图。换句话说，割点是指在图中，如果一个节点被删除，会导致图的连通性发生改变的节点。

具体来说，给定一个无向连通图G=(V,E)，如果存在一个节点v，使得删除节点v以及与节点v相连的边后，图G变成了多个连通分量，则该节点v被称为图G的割点。

割点在图论中具有以下性质：
- 对于无向连通图而言，割点至少有一个。
- 割点的个数不超过图的节点数。
- 割点的去除会导致图的连通性发生改变。
- 割点可能会影响图的连通分量的大小。

### 2.2 寻找图的割点的算法

对于寻找图的割点的算法，常用的方法是利用深度优先搜索（DFS）。

具体的算法步骤如下：
1. 初始化访问标记列表visited和深度记录列表depth。
2. 选择一个起始节点V。
3. 对起始节点进行深度优先搜索：
- 标记该节点为已访问。
- 设置该节点的深度为当前深度。
- 遍历该节点的邻接节点：
- 若该邻接节点未被访问过，则进行递归深度优先搜索，并记录递归子树中的最小深度。
- 若该邻接节点已被访问过，则更新该节点的最小深度为当前节点和邻接节点深度的较小值。
- 若该节点是起始节点且其子节点数大于等于2，则该起始节点是割点。
- 若该节点非起始节点且子节点的最小深度大于等于当前节点的深度，则该节点是割点。
4. 继续遍历其他未被访问的节点。
5. 输出所有的割点。

下面是用Python实现的算法代码：

def find_articulation_points(graph):
    num_nodes = len(graph)
    visited = [False] * num_nodes
    depth = [float("inf")] * num_nodes
    parent = [-1] * num_nodes
    articulation_points = []
    counter = 0
    
    def dfs(u):
        nonlocal counter
        children = 0
        visited[u] = True
        depth[u] = counter
        low[u] = counter
        counter += 1
        
        for v in graph[u]:
            if not visited[v]:
                parent[v] = u
                children += 1
                dfs(v)
                low[u] = min(low[u], low[v])
                if