最小生成树算法：Prim

# 1. 介绍最小生成树算法

## 1.1 什么是最小生成树
最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）是指在一个连通加权图中找到一棵权值最小的生成树。生成树是一个无向连通图G的生成树G的子图，它含有图G中的所有顶点，并且是一棵树。最小生成树可以用来描述很多实际问题，如通信网络的设计、电路板的布线等。

## 1.2 最小生成树的应用
最小生成树在实际应用中具有广泛的用途，包括但不限于：
- 通信网络设计中的最优布线
- 电路板布线问题
- 道路规划与建设
- 铁路、电力等资源的规划与分配

## 1.3 不同的最小生成树算法
最小生成树问题可以有多种解决算法，其中包括Prim算法、Kruskal算法、Borůvka算法等。每种算法都有其优势和适用场景。接下来，我们将重点介绍Prim算法。

# 2. 理解Prim算法的基本原理

Prim算法是一种常用的求解最小生成树问题的贪心算法。它的基本原理是通过逐步构建最小生成树，从起始节点开始，每次选择一条与当前树相邻且权值最小的边，将该边的另一端节点加入树中，直到包含了图中的所有节点。以下将详细介绍Prim算法的背景和起源、基本原理和思想，以及算法的具体步骤。

### 2.1 Prim算法的背景和起源

Prim算法由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（Robert C. Prim）于1957年提出，用于解决最小生成树问题。这个问题在图论中是一个经典的问题，广泛应用于网络设计、电路设计、通信网络、运输规划等领域。

### 2.2 基本原理和思想

Prim算法的基本原理是通过贪心策略逐步构造最小生成树。具体来说，算法从起始节点开始，每次选择一条与当前树相邻且权值最小的边，将该边的另一端节点加入树中。通过重复这个过程，直到包含了图中的所有节点。

Prim算法的思想是将图分为两个集合：一个是已经加入最小生成树的节点集合，一个是还未加入最小生成树的节点集合。算法通过一步步从未加入集合中选择节点加入到已加入集合中，直到最小生成树构建完成。

### 2.3 算法步骤

下面是Prim算法的具体步骤：

1. 初始化一个空树，将起始节点加入已加入集合中。
2. 找出与已加入集合中节点相邻且权值最小的边，将该边的另一端节点加入已加入集合中。
3. 重复步骤2，直到已加入集合中包含了图中的所有节点。
4. 最终得到的树即为最小生成树。

在实际实现中，可以使用优先队列来存储与已加入集合中节点相邻的边，以便每次选择权值最小的边。算法的时间复杂度为O(ElogV)，其中E为边的数量，V为节点的数量。

# 3. Prim算法的实现

在这一章节中，我们将深入讨论Prim算法的具体实现，包括所需的数据结构、代码实现以及算法复杂度分析。

#### 3.1 实现所需的数据结构

在Prim算法的实现中，我们需要使用以下数据结构:

- **邻接矩阵或邻接表**：用于存储图的结构信息。
- **优先队列**：用于按照权值快速找到最小边。

#### 3.2 代码实现

下面是Prim算法的Python代码实现：

import sys

class Graph:
    def __init__(self, vertices):
        self.V = vertices
        self.graph = [[0 for _ in range(vertices)] for _ in range(vertices)]

    def min_key(self, key, mst_set):
        min_val = sys.maxsize
        min_index = -1
        for v in range(self.V):
            if key[v] <