最大流算法：Ford-Fulkerson

# 第一章：最大流问题简介

## 1.1 最大流问题的基本概念

最大流问题是图论中的经典问题之一，其研究的是在一个有向图中找到从源节点到汇节点之间的最大流量路径。在解决最大流问题时，我们需要考虑每条边的容量限制以及流量的流向。具体而言，最大流问题可以定义为：在一个有向图中，给定一个源节点s和一个汇节点t，每条边都有一个容量限制，我们需要找到从源节点到汇节点的最大流量路径。

## 1.2 应用领域及重要性

最大流算法在实际应用中有着广泛的应用。其中最常见的应用之一是网络流问题，例如在网络中的数据传输，通过最大流算法可以确定网络的最大传输速率，从而提高数据传输的效率和可靠性。此外，最大流算法还在运输问题、电力系统调度等领域得到了广泛的应用。因此，研究和理解最大流问题对于优化和改进实际系统的性能至关重要。
## 第二章：Ford-Fulkerson算法介绍

Ford-Fulkerson算法是解决网络流最大流问题的经典算法之一，它基于不断寻找增广路径，并依据这些路径不断增加流量来求解最大流的问题。本章将介绍该算法的原理及思想，并详细阐述其实现步骤。
### 第三章：Ford-Fulkerson算法的优化

#### 3.1 网络流的残余图

在Ford-Fulkerson算法中，网络流的残余图是一种重要的概念。残余图是根据当前流量情况而构建的一个图，用于表示每条边上还可以增加的流量。

对于一条边$(u,v)$，假设其容量为$c(u,v)$，当前流量为$f(u,v)$。那么在残余图中，可以再增加的流量为$c(u,v)-f(u,v)$，即该边的剩余容量。

根据网络流的残余图，Ford-Fulkerson算法通过不断在残余图中寻找增广路径，来找到最大流。

#### 3.2 增广路径的选择

Ford-Fulkerson算法中的关键步骤是选择增广路径。增广路径是指从源点到汇点的一条路径，通过该路径可以增加流量。

在选择增广路径时，可以采用不同的策略。常见的有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。

以深度优先搜索为例，具体步骤如下：

1. 从源点开始，沿着未满流量的边进行DFS搜索，直到找到一条路径到达汇点。
2. 在搜索的过程中更新路径上每条边的流量，即根据残余图中每条边的剩余容量计算新的流量。
3. 更新增广路径后，继续搜索，重复1和2步骤，直到无法找到增广路径。

通过选择合适的增广路径，Ford-Fulk