证明:prim算法产生一颗最小生成树

Prim算法是一种用于构造最小生成树的贪心算法。它通过逐步选择边来构建最小生成树，直到所有顶点都被包含在生成树中。下面是证明Prim算法产生一颗最小生成树的步骤：

1. 假设G是一个连通的加权无向图，V是图G的顶点集合，E是图G的边集合。
2. 初始化一个空的生成树T，选择一个起始顶点v作为生成树的根节点。
3. 重复以下步骤，直到生成树T包含了图G的所有顶点：
a. 在生成树T中选择一个顶点u，该顶点在生成树T中，但与生成树T中的顶点不相邻，并且与生成树T中的顶点相邻的边的权值最小。
b. 将边(u, v)添加到生成树T中，其中v是与u相邻的顶点。
4. 返回生成树T。

证明Prim算法产生一颗最小生成树的关键在于证明每一步选择的边都是当前生成树T的最小权值边。这可以通过反证法来证明。假设在某一步选择的边不是当前生成树T的最小权值边，那么存在一条更小权值的边可以替代它。但是根据Prim算法的选择规则，我们知道在每一步选择时都选择了权值最小的边，因此这个假设是不成立的。

因此，根据Prim算法的步骤和证明，可以得出结论：Prim算法产生的生成树是最小生成树。

相关问题

实验题2：采用普里姆算法求最小生成树 （一）实验目的：领会普里姆算法求带权连通图中最小生成树的过程和相关算法设计。 （二）实验内容：编写一个程序exp4-2.cpp，实现求带权连通图最小生成树的普里姆算法。对于如图2所示的带权连通图，输出从顶点0出发的一棵最小生成树。 其中exp4-2.cpp程序中包含如下函数： Prim(g,v):采用普里姆算法输出图g中从顶点v出发的一颗最小生成树

以下是exp4-2.cpp的程序代码，实现了求带权连通图最小生成树的普里姆算法，对于给定的带权连通图，输出从顶点0出发的一棵最小生成树。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <utility>
#include <cstring>
using namespace std;

const int MAXN = 10005;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

struct Edge {
    int to, w;
    Edge(int _to, int _w) : to(_to), w(_w) {}
};

vector<Edge> G[MAXN];
int dis[MAXN];
bool vis[MAXN];

int Prim(int n, int s) {
    memset(vis, false, sizeof(vis));
    memset(dis, INF, sizeof(dis));
    dis[s] = 0;
    priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> pq;
    pq.push(make_pair(0, s));
    int ans = 0;
    while (!pq.empty()) {
        pair<int, int> cur = pq.top();
        pq.pop();
        int u = cur.second;
        if (vis[u]) continue;
        vis[u] = true;
        ans += cur.first;
        for (int i = 0; i < G[u].size(); i++) {
            int v = G[u][i].to;
            int w = G[u][i].w;
            if (!vis[v] && dis[v] > w) {
                dis[v] = w;
                pq.push(make_pair(dis[v], v));
            }
        }
    }
    return ans;
}

int main() {
    int n = 7;
    G[0].push_back(Edge(1, 7));
    G[0].push_back(Edge(3, 5));
    G[1].push_back(Edge(0, 7));
    G[1].push_back(Edge(2, 8));
    G[1].push_back(Edge(3, 9));
    G[1].push_back(Edge(4, 7));
    G[2].push_back(Edge(1, 8));
    G[2].push_back(Edge(4, 5));
    G[3].push_back(Edge(0, 5));
    G[3].push_back(Edge(1, 9));
    G[3].push_back(Edge(4, 15));
    G[3].push_back(Edge(5, 6));
    G[4].push_back(Edge(1, 7));
    G[4].push_back(Edge(2, 5));
    G[4].push_back(Edge(3, 15));
    G[4].push_back(Edge(5, 8));
    G[4].push_back(Edge(6, 9));
    G[5].push_back(Edge(3, 6));
    G[5].push_back(Edge(4, 8));
    G[5].push_back(Edge(6, 11));
    G[6].push_back(Edge(4, 9));
    G[6].push_back(Edge(5, 11));
    int ans = Prim(n, 0);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

程序运行结果如下：

39

其中，39是从顶点0出发的带权连通图的最小生成树的权值。

编写一个程序exp4-2.cpp，实现求带权连通图最小生成树的普里姆算法。对于如图2所示的带权连通图，输出从顶点0出发的一棵最小生成树。 其中exp4-2.cpp程序中包含如下函数： Prim(g,v):采用普里姆算法输出图g中从顶点v出发的一颗最小生成树。

好的，以下是exp4-2.cpp的代码：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;

const int MAXN = 100; // 最大节点数

struct Edge {
    int to, w; // 边的终点和权值
    Edge(int to, int w) : to(to), w(w) {}
};

vector<Edge> g[MAXN]; // 邻接表存储图
bool vis[MAXN]; // 记录每个节点是否被访问过

// 从顶点v开始，采用普里姆算法输出最小生成树
void Prim(vector<Edge> g[], int v) {
    priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> pq;
    pq.push({0, v}); // 将起始点加入堆中
    int res = 0; // 记录最小生成树的总权值
    while (!pq.empty()) {
        int u = pq.top().second;
        int w = pq.top().first;
        pq.pop();
        if (vis[u]) continue;
        vis[u] = true;
        res += w;
        cout << "加入节点 " << u << ", 权值为 " << w << endl;
        for (auto e : g[u]) {
            int v = e.to, w = e.w;
            if (!vis[v]) pq.push({w, v});
        }
    }
    cout << "最小生成树的总权值为 " << res << endl;
}

int main() {
    g[0].push_back(Edge(1, 1));
    g[0].push_back(Edge(2, 3));
    g[1].push_back(Edge(0, 1));
    g[1].push_back(Edge(2, 1));
    g[1].push_back(Edge(3, 6));
    g[2].push_back(Edge(0, 3));
    g[2].push_back(Edge(1, 1));
    g[2].push_back(Edge(3, 1));
    g[2].push_back(Edge(4, 5));
    g[3].push_back(Edge(1, 6));
    g[3].push_back(Edge(2, 1));
    g[3].push_back(Edge(4, 2));
    g[4].push_back(Edge(2, 5));
    g[4].push_back(Edge(3, 2));
    Prim(g, 0);
    return 0;
}

该程序采用邻接表存储图，用一个bool数组vis记录每个节点是否被访问过。函数Prim采用堆优化的方式实现普里姆算法，其中priority_queue用于维护未被加入生成树的节点，pair<int, int>表示边的权值和终点，greater<pair<int, int>>表示按照边的权值从小到大排序。程序中给出了一个简单的带权连通图，从顶点0开始求一棵最小生成树。