14. 最小生成树及相关算法

# 1. 最小生成树简介

## 1.1 什么是最小生成树？

在一个连通的无向图中，生成树是一个树，它包含图中的所有顶点，并且只包含足够的边来使其连通。如果每条边上都有一个权值，则这棵生成树的权值之和被称为这个图的最小生成树。换句话说，最小生成树是一个图的生成树中边的权值之和最小的那棵生成树。

## 1.2 最小生成树的应用领域

最小生成树在许多领域都有着广泛的应用，包括但不限于网络设计、电力输配、电路板布线、城市规划等。在这些领域，选择最小生成树算法可以帮助优化资源利用，降低成本和提高效率。

## 1.3 最小生成树的基本性质

- 最小生成树的边数为顶点数减一
- 最小生成树中任意顶点vi和vj之间必存在一条路径
- 最小生成树中的n个顶点只有n-1条边

最小生成树的基本性质使得它成为了优化问题中的重要工具，下面我们将介绍Prim算法以及它的实现步骤和时间复杂度分析。

# 2. Prim算法

Prim算法是一种常用的最小生成树算法，其基本思想是从一个顶点出发逐步扩展，直到覆盖所有顶点。下面将详细介绍Prim算法的思想、实现步骤以及时间复杂度分析。

#### 2.1 Prim算法的思想和原理

Prim算法的核心思想是贪心法。它通过不断选择与当前生成树相连的具有最小权值的边来构建最小生成树。具体步骤如下：

1. 设置一个空集合M表示当前生成树，初始时将任意一个顶点作为起点加入M。
2. 从M中选取一个顶点v，搜索与v相连的所有边，并选择权值最小的边e。
3. 将边e加入M，并将e的另一个顶点加入M。
4. 重复步骤2和步骤3，直到所有的顶点都被加入M。

#### 2.2 Prim算法的实现步骤

Prim算法可以用堆优化的方式实现，具体步骤如下：

1. 创建一个优先级队列或最小堆，用于存储待选择的边。
2. 初始化一个集合M，表示当前最小生成树，选择一个起点顶点加入M。
3. 遍历与起点相连的所有边，将其加入优先级队列或最小堆。
4. 当队列不为空时，依次弹出队首元素e，判断其另一个顶点是否已经在M中。若已经在M中，则继续弹出下一个元素。若不在M中，则将边e加入M，并将e的另一个顶点加入M。
5. 重复步骤4，直到所有的顶点都被加入M。

#### 2.3 Prim算法的时间复杂度分析

Prim算法的时间复杂度主要取决于优先级队列/最小堆的实现方式。在使用二叉堆实现的情况下，Prim算法的时间复杂度为O(ElogV)，其中E是边的数量，V是顶点的数量。这是因为每次插入或删除边的操作都需要O(logV)的时间，总共执行E次。

以上是关于Prim算法的介绍，下一章将介绍Kruskal算法的原理和实现步骤。

# 3. 【14. 最小生成树及相关算法】

### 3. 第三章：Kruskal算法

Kruskal算法是一种用于解决最小生成树的经典算法，它的思想简单而直观。本章将介绍Kruskal算法的原理、实现步骤以及与Prim算法的优缺点比较。

#### 3.1 Kruskal算法的思想和原理

Kruskal算法的思想是基于贪心策略，它通过不断选择边并将其加入最小生成树中，直到最小生成树中包含了图的所有顶点。其原理可以简述如下：

1. 将图的所有边按照权值的大小进行排序。
2. 从权值最小的边开始遍历，如果该边连接的两个顶点不在同一棵树上（即不会产生环），则将该边加入最小生成树，并将两个顶点所在的树合并为一棵树。
3. 重复步骤2，直到最小生成树中包含了图的所有顶点。

#### 3.2 Kruskal算法的实现步骤

Kruskal算法的实现步骤如下：

Step 1：对图的所有边按照权值进行排序。

Step 2：初始化一个空的最小生成树，用于存储最后生成的最小生成树。

Step 3：遍历排序后的边，依次考察每条边。

Step 4：如果该边的两个顶点不在同一棵树中，则将该边加入最小生成树，同时将两个顶点所在的树合并为一棵树。

Step 5：重复步骤3和步骤4，直到最小生成树中包含了图的所有顶点。

#### 3.3 Kruskal算法的优缺点比较

Kruskal算法相对于Prim算法有一些优点和缺点，下面进行简要的比较：