15. 图的同构与同构判定算法

# 1. 图的基本概念与同构性质

### 1.1 图的定义和基本概念介绍

图是一种抽象的数据结构，由节点（顶点）和节点之间的边组成。节点表示对象，边表示对象之间的关系。图可以用于描述真实世界中的各种关系网络，如社交网络、电力网络、路网等。

在图中，节点之间的关系可以是有向的或无向的。有向图中，边具有方向，表示从一个节点到另一个节点的箭头指向；无向图中，边没有方向，表示两个节点之间的关系是互相的。

图可以用邻接矩阵或邻接表来表示。邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示节点之间是否存在边；邻接表是一种链表数组，其中的每个链表表示某个节点与其他节点之间的关系。

### 1.2 图的同构概念及其意义

图的同构指的是两个图之间存在一种一一对应关系，使得它们具有相同的结构和关系。换句话说，两个图是同构的，当且仅当它们具有相同数量的节点，对应的节点之间的关系也是相同的。同构性表示了图的结构的一种对称性。

图的同构性在许多应用场景中具有重要的意义。例如，在网络安全领域中，同构性可以用于识别不同网络中相同的配置或行为模式，以便进行威胁分析和防御。在图数据库查询中，同构性可以用于高效地比较不同图的相似性，以支持数据挖掘和推荐系统等应用。

### 1.3 图的同构性质分析

图的同构性质是指图在同构关系下的一些特征。具体而言，图的同构性质包括以下几个方面：

- 节点数目：同构的两个图具有相同数量的节点。
- 边数目：同构的两个图具有相同数量的边。
- 节点度数：同构的两个图中节点的度数相同，即每个节点与多少个其他节点相邻。
- 邻接关系：同构的两个图中节点之间的邻接关系相同，即每个节点与哪些其他节点相邻。

图的同构性质有利于我们判断两个图是否同构，以及分析图的结构和关系。在同构判定算法中，我们将使用这些性质来比较两个图的结构和关系。

# 2. 同构判定算法概述

在上一章节中，我们已经介绍了图的基本概念和同构性质。本章将对图的同构判定算法进行概述，包括基于邻接矩阵和邻接表的算法，以及基于图的特征向量的算法。

### 2.1 基于邻接矩阵的同构判定算法

邻接矩阵是一种常用的图的表示方法，可以通过一个矩阵来表示图中各个顶点之间的关系。基于邻接矩阵的同构判定算法通过比较两个图的邻接矩阵，判断它们是否同构。

以下是一个基于邻接矩阵的同构判定算法的示例代码（使用Python语言）：

def isomorphic(adj_matrix1, adj_matrix2):
    if len(adj_matrix1) != len(adj_matrix2):
        return False
    n = len(adj_matrix1)
    mapping = {}
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if adj_matrix1[i][j] != adj_matrix2[i][j]:
                return False
            if adj_matrix1[i][j] == 1:
                if i not in mapping:
                    mapping[i] = j
                elif mapping[i] != j:
                    return False
    return True

# 测试代码
adj_matrix1 = [[0, 1, 1], [1, 0, 0], [1, 0, 0]]
adj_matrix2 = [[0, 1, 0], [1, 0, 1], [0, 1, 0]]
result = isomorphic(adj_matrix1, adj_matrix2)
print("两个图是否同构：", result)

代码解析：该算法首先检查两个邻接矩阵的大小是否相同，若不相同则返回False；然后通过比较邻接矩阵中对应位置的元素，判断边的连接情况是否相同；同时，利用一个字典记录对应点的映射关系，确保两个图的相同点都对应同一个点；最后返回判定结果。

### 2.2 基于邻接表的同构判定算法

邻接表是另一种常用的图的表示方法，它通过一个数组和链表来表示图中各个顶点之间的关系。基于邻接表的同构判定算法通过比较两个图的邻接表，判断它们是否同构。

以下是一个基于邻接表的同构判定算法的示例代码（使用Java语言）：

public class Graph {
    private int V;
    private LinkedList<Integer>[] adjListArray;

    public Graph(int V) {
        this.V = V;
        adjListArray = new LinkedList[V];
        for (int i = 0; i < V; ++i) {
            adjListArray[i] = new LinkedList<>();
        }
    }

    void addEdge(int src, int dest) {
        adjListArray[src].add(dest);
    }

    static boolean isomorphic(Graph g1, Graph g2) {
        if (g1.V != g2.V) {
            return false;
        }
        int n = g1.V;
        boolean[] visited = new boolean[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            visited[i] = false;
        }
        return isomorphicUtil(g1, g2, visited, 0);
    }

    static boolean isomorphicUtil(Graph g1, Graph g2, boolean[] visited, int vertex) {
        visited[vertex] = true;
        Integer firstNode = g1.adjListArray[vertex].get(0);
        Integer secondNode = g2.adjListArray[vertex].get(0);
        if (firstNode.equals(secondNode)) {
            for (int adjacentNode = 1; adjacentN