6. 图的各种表示及带权图的研究

# 1. 引言

## 1.1 图的概述

图是一种重要的数据结构，由节点和节点之间的边构成。它在计算机科学和其他领域中具有广泛的应用。图的概念最早由莱昂哈德·欧拉在1736年提出，被广泛用于解决实际问题，如图像处理、社交网络分析、交通路线规划等。

## 1.2 图的基本概念

图由节点（顶点）和边组成，边连接了节点之间的关系。节点可以表示实体或概念，而边则表示节点之间的连接或关联关系。一个图可以是有向的，其中边具有方向，也可以是无向的，其中边没有方向。

图可以表示为一个二元组G=(V, E)，其中V表示节点的集合，E表示边的集合。图可以是稀疏的，即节点之间的连接较少，或者是稠密的，即节点之间的连接较多。

## 1.3 图的应用领域

图在许多领域都有广泛的应用。以下是一些常见的应用领域：

- 社交网络分析：图被用来表示人与人之间的社交关系，用于分析社交网络中的影响力、社区发现等。
- 交通路线规划：图被用来表示道路、交叉口之间的连接关系，用于规划最短路径、最优路径等。
- 网络通信：图被用来表示计算机网络中的节点和通信链接，用于优化网络传输路由和节点之间的通信效率。
- 图像处理：图被用来表示图像中的像素点之间的关联关系，用于图像分割、图像识别等。

图的应用领域还包括生物信息学、电路设计、计算机图形学等，可以说在现代科学和技术中，图的应用无处不在。

在接下来的章节中，我们将介绍不同的图的表示方法，图的遍历算法，以及带权图的研究和应用案例分析。

# 2. 图的表示方法

图是一种非常重要的数据结构，用于表示多个对象之间的关系。在计算机科学和信息技术领域广泛应用。为了在计算机程序中表示和操作图，我们需要使用适当的数据结构来表示图的结构和关系。

下面将介绍几种常用的图的表示方法。

### 2.1 邻接矩阵表示法

邻接矩阵是一种常见的表示图的方式，它使用一个二维矩阵来表示图中节点之间的关系。矩阵的大小为N × N，其中N是图中节点的个数。矩阵的每个元素M[i][j]表示节点i和节点j之间是否存在一条边或者权值。

下面是一个用邻接矩阵表示的无向图的例子：

图示例：

    0--1
   /  |
  3---2

邻接矩阵表示：

   0  1  2  3
0  0  1  0  1
1  1  0  1  0
2  0  1  0  1
3  1  0  1  0

使用邻接矩阵表示图的优点是可以方便地进行查找任意两个节点之间是否存在边，时间复杂度为O(1)。而缺点是空间复杂度较高，因为需要存储节点间的所有边关系，不适用于稀疏图。

### 2.2 邻接链表表示法

邻接链表是另一种常见的表示图的方式，它使用链表来表示图中的节点和它们之间的关系。每个节点都用一个链表存储它的邻居节点。通过这种方式，可以有效地表示稀疏图，因为只需要存储存在边的节点和相应的邻居节点。

下面是一个用邻接链表表示的有向图的例子：

图示例：

    0-->1
   /   |
  \/   |
  3<---2

邻接链表表示：

0 -> [1]
1 -> [2]
2 -> [1, 3]
3 -> [0, 2]

使用邻接链表表示图的优点是可以有效地存储稀疏图，节省空间。同时，遍历节点的邻居节点也比较方便。但是查找任意两个节点之间是否存在边的时间复杂度会较高，可能需要遍历链表。

### 2.3 关联矩阵表示法

关联矩阵是一种用于表示图的方式，它使用一个二维矩阵来表示图中的节点和边的关联关系。矩阵的大小为N × M，其中N是节点的个数，M是边的个数。矩阵的每个元素M[i][j]表示节点i和边j之间的关联关系。

下面是一个用关联矩阵表示的有向图的例子：

图示例：

    0-->1
   /   |
  \/   |
  3<---2

关联矩阵表示：

   0  1  2  3  4  5
0 -1  1  0  0  0  0
1  0  0  1  0  1  0
2  0  0  0 -1  0  1
3  1 -1 -1  1  0  0

在关联矩阵中，使用-1表示边的起点，1表示边的终点。由于关联矩阵中的列数等于边的个数，因此适用于表示有向图和无向图。

以上就是图的几种常见的表示方法。根据实际的需求和图的规模选择合适的表示方法可以提高程序的效率和性能。

接下来将介绍图的遍历算法。

# 3. 图的遍历算法

图的遍历算法是对图中的节点进行系统性访问的方法。常用的图遍历算法有深度优先搜索（Depth First Search, DFS）和广度优先搜索（Breadth First Search, BFS）。下面将详细介绍这两种算法及其应用案例。

#### 3.1 深度优先搜索（DFS）

深度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法。从起始顶点开始，依次访问其未被访问过的邻居节点，直到到达最深处，然后回溯，继续访问其他未被访问过的节点，直到所有节点均被访问。DFS常用递归或栈来实现。

def dfs(graph, start, visited):
    visited.add(start)
    print(start, end=' ')

    for next_node in graph[start] - visited:
        dfs(graph, next_node, visited)

代码解释：
- `graph`：图的邻接列表表示法
- `start`：当前访问的节点
- `visited`：记录已访问过的节点集合

应用场景：深度优先搜索可用于解决迷宫、连通性等问题，在实际中也广泛应用于网络爬虫、拓扑排序等场景。

#### 3.2 广度优先搜索（BFS）

广度优先搜索是一种以近距离优先，逐层访问节点的搜索算法。从起始顶点开始，先访问其所有的邻居节点，再依次访问邻居节点的邻居节点，直到所有节点均被访问。BFS常用队列来实现。

import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;

public class BFS {
    public void bfs(Graph graph, int start) {
        boolean[] visited = new boolean[graph.g