请解释在自动控制系统中，如何通过极点配置来优化系统的超调和稳定性？并给出相应的数学模型和实例分析。

在自动控制系统中，极点配置是影响系统动态性能和稳定性的重要因素。通过调整系统极点的位置，可以对系统的动态响应进行设计，以满足特定的性能指标，如减小超调、提高稳定性和加快响应速度。具体来说，系统的极点决定了系统的时域响应特征，如超调量和调节时间。

参考资源链接：[自动控制理论第三版习题解析与答案](https://wenku.csdn.net/doc/5hjaiuk5yk?spm=1055.2569.3001.10343)

在设计过程中，首先需要根据系统的开环传递函数来确定系统的极点。然后，通过增加控制器（如PID控制器），对极点进行重新配置。例如，为了减少二阶系统的超调，可以通过增加闭环阻尼比（ζ）来实现，这时系统的极点会在复平面上向左移动，使得阻尼增大，超调减小。

数学模型上，系统的闭环传递函数通常表示为：
\[T(s) = \frac{G(s)C(s)}{1+G(s)C(s)}\]
其中\(G(s)\)是开环传递函数，\(C(s)\)是控制器传递函数。通过设计合适的\(C(s)\)，可以使得闭环极点具有期望的位置，从而达到改善系统性能的目的。

实例分析时，以一个典型的比例-积分-微分（PID）控制器为例，其传递函数为：
\[C(s) = K_p + \frac{K_i}{s} + K_d s\]
通过调节PID控制器的参数\(K_p, K_i, K_d\)，可以对闭环系统的极点位置进行调整，以实现超调的减少和快速稳定。

最后，为了验证极点配置的效果，通常会进行仿真分析，观察系统的阶跃响应或脉冲响应，并通过调整控制器参数来优化系统性能。《自动控制理论第三版习题解析与答案》中提供了关于系统稳定性分析和误差传递函数的具体实例，以及如何通过框图化简来理解系统传递函数的建立过程，这些都对理解极点配置及其对系统性能的影响大有帮助。

参考资源链接：[自动控制理论第三版习题解析与答案](https://wenku.csdn.net/doc/5hjaiuk5yk?spm=1055.2569.3001.10343)