透视变换与逆透视变换解析

### 透视变换与逆透视变换

#### 透视变换的定义和原理
透视变换是一种线性投影变换，可以将一个平面内的点映射到另一个平面上。这种变换通常用于模拟相机视角的变化或校正图像中的倾斜效果。透视变换由单应性矩阵 \( H \) 描述，该矩阵是一个3×3的非奇异矩阵[^1]。

对于给定的一组对应点对 (源点和目标点)，可以通过最小化重投影误差来计算单应性矩阵 \( H \):
\[ H = \begin{bmatrix} h_{11} & h_{12} & h_{13}\\ h_{21} & h_{22} & h_{23}\\ h_{31} & h_{32} & h_{33}\end{bmatrix} \]

#### 数学公式推导过程
设原始图像上的任意一点为 \( P(x, y) \)，经过透视变换后的坐标记作 \( Q(X', Y') \)，则有如下关系：
\[ X'=\frac {h_{11}x+h_{12}y+h_{13}}{h_{31}x+h_{32}y+h_{33}},\quad Y'=\frac {h_{21}x+h_{22}y+h_{23}}{h_{31}x+h_{32}y+h_{33}} \]

为了简化计算，在实际应用中常采用齐次坐标的表示方式，即令 \( w=h_{31}x+h_{32}y+h_{33} \), 则上述方程可写成向量形式：

\[ \begin{pmatrix}
X'\\Y'\\w
\end{pmatrix}=H\cdot\begin{pmatrix}
x \\ y \\ 1
\end{pmatrix},\qquad 或者写作:\left[\begin{array}{c|c}&0\\\hline&1\end{array}\right]\times\begin{pmatrix}
X'/w\\Y'/w\\1
\end{pmatrix}=H\times\begin{pmatrix}
x \\ y \\ 1
\end{pmatrix}

#### 实现方法及其应用场景
在计算机视觉领域内，透视变换广泛应用于矫正拍摄角度造成的变形、创建虚拟现实环境以及增强现实技术等方面。具体来说，当需要调整图片的角度使其看起来像是从不同位置观察的结果时就会用到此功能；另外还可以用来消除因镜头畸变而产生的失真现象。

以下是利用 OpenCV 库完成透视变换的一个简单例子:

import cv2
import numpy as np

def perspective_transform(image_path):
    img = cv2.imread(image_path)

    pts_src = np.array([[141, 131], [480, 159], [493, 630],[64, 601]])
    pts_dst = np.array([[150, 150], [470, 150], [470, 620],[150, 620]])

    matrix, _ = cv2.findHomography(pts_src, pts_dst)
    
    result_image = cv2.warpPerspective(img,matrix,(img.shape[1],img.shape[0]))
    
    return result_image

这段代码实现了基于四个角点匹配寻找最佳单应性矩阵并执行相应的几何转换操作.

#### 逆透视变换概念介绍
所谓“逆”指的是相对于原图而言进行了相反的操作——即将已经发生过一定变化的目标恢复至最初状态的过程称为逆运算。因此所谓的“逆透视变换”，就是指把一张被扭曲过的照片重新拉伸回正常比例下的样子[^3]。

同样的道理也适用于其他类型的仿射变换比如旋转和平移等情况下所做的反向处理。值得注意的是并不是所有的变换都存在唯一的逆元，只有那些保持了局部结构不变性的才可能找到对应的解法。

下面是使用 Python 和 OpenCV 进行逆透视变换的例子:

def inverse_perspective_transform(transformed_img, original_points, transformed_points):
    homography_matrix,_=cv2.findHomography(original_points,transformed_points)
    inv_homography=np.linalg.inv(homography_matrix)
    restored=cv2.warpPerspective(transformed_img,inv_homography,dsize=(transformed_img.shape[1],transformed_img.shape[0]))

    return restored

在这个函数里先调用了 `findHomography` 来获取两个版本之间的转换参数表征（也就是前面提到的那个单应性矩阵），接着再对其取一次逆得到能够还原初始形态的新版矩阵，最后借助于 `warpPerspective` 函数完成了整个流程.