:仿射变换算法解析:深入了解图像几何变换的秘密
发布时间: 2024-07-05 21:03:52 阅读量: 84 订阅数: 35
计算机视觉基础知识:射影变换,仿射变换,相似变换(比例变换),刚性变换 计算机视觉.pdf
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# 1. 仿射变换基础**
仿射变换是一种线性变换,它可以将一个点从一个坐标系变换到另一个坐标系中。它广泛应用于图像处理和计算机视觉中,例如图像缩放、旋转、平移和透视变换。
仿射变换的数学表示为:
```
[x'] = [a b tx] [x]
[y'] [c d ty] [y]
[1 ] [0 0 1 ] [1 ]
```
其中,[x, y] 是原始坐标,[x', y'] 是变换后的坐标,[a, b, c, d, tx, ty] 是仿射变换矩阵。
# 2.1 线性代数基础
### 线性变换
线性变换是保持向量加法和标量乘法的运算。对于两个向量 x 和 y,以及标量 c,线性变换 L 满足以下性质:
```
L(x + y) = L(x) + L(y)
L(cx) = cL(x)
```
### 矩阵
矩阵是一种矩形数组,用于表示线性变换。一个 m x n 矩阵 A 由 m 行和 n 列元素组成,表示为:
```
A = [a_11 a_12 ... a_1n]
[a_21 a_22 ... a_2n]
...
[a_m1 a_m2 ... a_mn]
```
### 向量
向量是一个有序元素列表,表示为:
```
v = [v_1, v_2, ..., v_n]
```
### 矩阵乘法
矩阵 A 与向量 v 的乘积是一个新的向量 w,其元素为:
```
w_i = a_i1 * v_1 + a_i2 * v_2 + ... + a_in * v_n
```
### 仿射变换
仿射变换是一种线性变换,它保留了平行线的平行性。它可以表示为:
```
y = Ax + b
```
其中:
* y 是输出向量
* x 是输入向量
* A 是仿射变换矩阵
* b 是平移向量
## 2.2 仿射变换矩阵
仿射变换矩阵 A 是一个 2x3 矩阵,形式为:
```
A = [[a, b, c],
[d, e, f]]
```
其中:
* a 和 d 控制缩放
* b 和 e 控制剪切
* c 和 f 控制平移
### 仿射变换矩阵的几何意义
仿射变换矩阵的元素具有以下几何意义:
* a 和 d:缩放因子的 x 和 y 分量
* b 和 e:剪切因子的 x 和 y 分量
* c 和 f:平移因子的 x 和 y 分量
### 仿射变换矩阵的性质
仿射变换矩阵具有以下性质:
* 单位矩阵表示恒等变换。
* 矩阵乘法表示连续的仿射变换。
* 逆矩阵表示逆仿射变换。
# 3.1 OpenCV中的仿射变换函数
OpenCV(Open Source Computer Vision Library)是一个用于图像处理、计算机视觉和机器学习的开源库。它提供了广泛的函数来执行各种图像变换,包括仿射变换。
OpenCV 中用于仿射变换的主要函数是 `cv2.warpAffine()`。此函数采用以下参数:
- `src`: 输入图像
- `dst`: 输出图像
- `M`: 仿射变换矩阵
- `dsize`: 输出图像的大小(可选)
- `flags`: 插值方法(可选)
仿射变换矩阵 `M` 是一个 2x3 的矩阵,它定义了变换的几何参数。矩阵 `M` 的形式如下:
```
M = [[a, b, c],
[d, e, f]]
```
其中:
- `a` 和 `d` 控制缩放和旋转
- `b` 和 `e` 控制剪切
- `c` 和 `f` 控制平移
要使用 `cv2.warpAffine()` 函数执行仿射变换,请执行以下步骤:
1. 计算仿射变换矩阵 `M`。
2. 调用 `cv2.warpAffine()` 函数,传递 `src`、`dst`、`M` 和其他可选参数。
3. 输出图像 `dst` 将包含已应用仿射变换的图像。
```python
import cv2
# 定义仿射变换矩阵
M = np.array([[1, 0, 100], [0, 1, 50]])
# 读取输入图像
image = cv2.imread('input.jpg')
# 应用仿射变换
dst = cv2.warpAffine(image, M, (image.shape[1], image.shape[0]))
# 显示输出图像
cv2.imshow('Output', dst)
cv2.waitKey(0)
cv2.destroyAllWindows()
```
## 3.2 NumPy中的仿射变换函数
NumPy(N
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