如何用Python实现Sor（Successive Overrelaxation）迭代法？

SOR（Successive Over Relaxation）是一种迭代方法，用于求解线性方程组，特别是在数值计算中解决大型稀疏矩阵系统。在Python中，我们可以利用NumPy库来实现SOR迭代法。这里是一个基本步骤的示例：

import numpy as np

def sor(A, b, omega, max_iter=100, tolerance=1e-6):
    """
    A: 系数矩阵 (二维数组)
    b: 右侧向量 (一维数组)
    omega: 松弛因子 (通常0 < ω < 2)
    max_iter: 最大迭代次数
    tolerance: 容差值
    """
    n = len(b)
    x = np.zeros(n)  # 初始猜测解
    r = b - np.dot(A, x)  # 初始残差
    old_r_norm = np.linalg.norm(r)

    for _ in range(max_iter):
        x_new = x + omega * (np.dot(A, x) / A.diagonal()) + (1 - omega) * r / A.diagonal()
        r_new = b - np.dot(A, x_new)
        if np.linalg.norm(r_new) <= tolerance * old_r_norm:
            break
        else:
            x = x_new
            old_r_norm = np.linalg.norm(r_new)

    return x_new

# 示例用法
A = np.array([[4, 1], [1, 4]])
b = np.array([5, 5])
omega = 1.5
solution = sor(A, b, omega)
print("Solution:", solution)

在这个例子中，我们首先创建了一个系数矩阵`A`和右侧向量`b`，然后设定松弛因子`omega`、最大迭代次数和容差值。在循环中，每次迭代都会更新当前解`x`并计算新的残差，直到满足停止条件（残差足够小或达到最大迭代次数）。最后返回的是近似的解。