用非线性函数将输入数据映射至高维空间后应用线性SVM可得到非线性SVM。非线性SVM有如下优化问题:
时间: 2024-06-17 12:01:37 浏览: 15
在机器学习中,尤其是支持向量机(SVM)算法,通常用于解决线性可分或近似线性可分的问题。当数据是非线性可分的,即通过简单的线性决策边界无法准确分类时,我们可以使用非线性SVM来处理这种情况。非线性SVM的关键在于通过一种数学技巧将原始的输入数据映射到一个更高维度的空间,这个过程通常称为特征扩展或核方法。
首先,我们使用非线性函数,比如多项式函数、径向基函数(RBF,也称为高斯核)或sigmoid函数,将每个输入数据点x转换为一个复杂的特征表示φ(x)。这样,即使原始数据在二维或更低维度上是线性不可分的,映射后的数据可能在高维空间中变得线性可分。例如,RBF核函数可以创建无限维特征空间,使得数据在新的坐标系下可以被线性分割。
然后,线性SVM在新的高维特征空间中寻找最优的超平面,这个超平面最大化了分类间隔,同时最小化了错误。实际上,我们并没有在高维空间中直接操作,而是通过核函数计算样本之间的“内积”,这被称为“核技巧”或“核方法”,避免了实际的高维计算。
非线性SVM的优化问题通常可以表示为以下形式(对于二类情况):
\[ \min_{\mathbf{w}, b, \xi} \frac{1}{2} \|\mathbf{w}\|^2 + C \sum_{i=1}^n \xi_i \]
\[ \text{subject to: } y_i(\mathbf{w}^\top\phi(\mathbf{x}_i) + b) \geq 1 - \xi_i, \quad \xi_i \geq 0 \]
其中,C是正则化参数,控制了模型的复杂度,ξ_i是松弛变量,用来处理数据点无法完美分类的情况。优化目标是找到权重向量w、偏置项b以及合适的ξ值,使得决策边界最有利,并尽量减少错误分类(由ξ_i衡量)。