n!=n\cdot (n-1)... 3\cdot 2 \cdot 1 是啥意思

这个表达式表示了阶乘（factorial）的计算方式。在数学中，n的阶乘（记作n!）表示从1到n的所有正整数的乘积。

例如，5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120。这是因为5的阶乘等于5 × 4的阶乘，而4的阶乘又等于4 × 3的阶乘，以此类推，直到2的阶乘等于2 × 1。

因此，n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 3 × 2 × 1。这个表达式可以用于计算任意正整数n的阶乘。

相关问题

用追赶法解如下三对角方程组Ax=b,A=(3,-1/2.....-1/2,3,-1/2,.......-1/2,3,-1/2,....-1/2,3),自己给出不同的b求解，并给出方程组的解。

好的，我来解答这个问题。

首先，我们需要对矩阵A进行LU分解，其中L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。LU分解的过程如下：

$$
L=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
-\frac{1}{2} & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & -\frac{1}{2} & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\
\end{bmatrix}
$$

$$
U=\begin{bmatrix}
3 & -\frac{1}{2} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \frac{5}{4} & -\frac{1}{2} & \cdots & 0 \\
0 & 0 & \frac{5}{4} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & \frac{5}{4} \\
\end{bmatrix}
$$

然后，我们可以使用追赶法求解方程组Ax=b。具体步骤如下：

1. 计算Ly=b，其中y为未知向量。

2. 计算Ux=y，其中x为未知向量。

现在，我们来尝试解几个不同的b并求出方程组的解。

1. 当b=[1, 0, 0, ..., 0]时，我们有Ly=b：

$$
\begin{cases}
y_1 = 1 \\
-\frac{1}{2}y_1 + y_2 = 0 \\
-\frac{1}{2}y_2 + y_3 = 0 \\
\vdots \\
-\frac{1}{2}y_{n-1} + y_n = 0 \\
\end{cases}
$$

解得：$y=[1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, ..., \frac{1}{2^{n-1}}]$。

然后，我们有Ux=y：

$$
\begin{cases}
3x_1 - \frac{1}{2}x_2 = 1 \\
\frac{5}{4}x_2 - \frac{1}{2}x_3 = \frac{1}{2} \\
\frac{5}{4}x_3 - \frac{1}{2}x_4 = \frac{1}{4} \\
\vdots \\
\frac{5}{4}x_{n-1} - \frac{1}{2}x_n = \frac{1}{2^{n-1}} \\
\frac{5}{4}x_n = \frac{1}{2^n} \\
\end{cases}
$$

解得：$x=[\frac{1}{2^{n+1}}, \frac{1}{2^n}, \frac{1}{2^{n-1}}, ..., \frac{1}{2}]$。

因此，方程组的解为$x=[\frac{1}{2^{n+1}}, \frac{1}{2^n}, \frac{1}{2^{n-1}}, ..., \frac{1}{2}]$。

2. 当b=[1, 1, 1, ..., 1]时，我们有Ly=b：

$$
\begin{cases}
y_1 = 1 \\
-\frac{1}{2}y_1 + y_2 = 1 \\
-\frac{1}{2}y_2 + y_3 = 1 \\
\vdots \\
-\frac{1}{2}y_{n-1} + y_n = 1 \\
\end{cases}
$$

解得：$y=[\frac{3}{2}, \frac{5}{4}, \frac{9}{8}, ..., \frac{2^n-1}{2^{n-1}}]$。

然后，我们有Ux=y：

$$
\begin{cases}
3x_1 - \frac{1}{2}x_2 = \frac{3}{2} \\
\frac{5}{4}x_2 - \frac{1}{2}x_3 = \frac{5}{4} \\
\frac{5}{4}x_3 - \frac{1}{2}x_4 = \frac{9}{8} \\
\vdots \\
\frac{5}{4}x_{n-1} - \frac{1}{2}x_n = \frac{2^n-1}{2^{n-1}} \\
\frac{5}{4}x_n = \frac{2^n+1}{2^n} \\
\end{cases}
$$

解得：$x=[\frac{2^n+1}{5\cdot2^n}, \frac{2^n+1}{5\cdot2^{n-1}}, \frac{2^n+1}{5\cdot2^{n-2}}, ..., \frac{2^n+1}{5\cdot5}]$。

因此，方程组的解为$x=[\frac{2^n+1}{5\cdot2^n}, \frac{2^n+1}{5\cdot2^{n-1}}, \frac{2^n+1}{5\cdot2^{n-2}}, ..., \frac{2^n+1}{5\cdot5}]$。

3. 当b=[2, 4, 6, ..., 2n]时，我们有Ly=b：

$$
\begin{cases}
y_1 = 2 \\
-\frac{1}{2}y_1 + y_2 = 4 \\
-\frac{1}{2}y_2 + y_3 = 6 \\
\vdots \\
-\frac{1}{2}y_{n-1} + y_n = 2n \\
\end{cases}
$$

解得：$y=[\frac{8}{3}, \frac{28}{9}, \frac{100}{27}, ..., \frac{2^{n+1}(n-1)+2}{3\cdot2^n}]$。

然后，我们有Ux=y：

$$
\begin{cases}
3x_1 - \frac{1}{2}x_2 = \frac{8}{3} \\
\frac{5}{4}x_2 - \frac{1}{2}x_3 = \frac{28}{9} \\
\frac{5}{4}x_3 - \frac{1}{2}x_4 = \frac{100}{27} \\
\vdots \\
\frac{5}{4}x_{n-1} - \frac{1}{2}x_n = \frac{2^{n+1}(n-1)+2}{3\cdot2^n} \\
\frac{5}{4}x_n = \frac{2^{n+2}(n-1)+2}{3\cdot2^{n+1}} \\
\end{cases}
$$

解得：$x=[\frac{2^{n+2}(n-1)+2}{15\cdot2^{n+1}}, \frac{2^{n+1}(n-1)+2}{15\cdot2^n}, \frac{2^n(n-1)+2}{15\cdot2^{n-1}}, ..., \frac{8}{15}]$。

因此，方程组的解为$x=[\frac{2^{n+2}(n-1)+2}{15\cdot2^{n+1}}, \frac{2^{n+1}(n-1)+2}{15\cdot2^n}, \frac{2^n(n-1)+2}{15\cdot2^{n-1}}, ..., \frac{8}{15}]$。

综上所述，对于不同的b，方程组Ax=b的解分别为：

1. $x=[\frac{1}{2^{n+1}}, \frac{1}{2^n}, \frac{1}{2^{n-1}}, ..., \frac{1}{2}]$。

2. $x=[\frac{2^n+1}{5\cdot2^n}, \frac{2^n+1}{5\cdot2^{n-1}}, \frac{2^n+1}{5\cdot2^{n-2}}, ..., \frac{2^n+1}{5\cdot5}]$。

3. $x=[\frac{2^{n+2}(n-1)+2}{15\cdot2^{n+1}}, \frac{2^{n+1}(n-1)+2}{15\cdot2^n}, \frac{2^n(n-1)+2}{15\cdot2^{n-1}}, ..., \frac{8}{15}]$。

求:1-3!+5!-7!......(-1)n-1(2n-1)!,求前n的项的和。

首先，根据题目中的公式，可以得到第一项为$1$，第二项为$-6$，第三项为$120$，第四项为$-5040$，第五项为$362880$，第六项为$-39916800$，以此类推。可以发现，第奇数项都是正数，第偶数项都是负数。

接下来，考虑如何求前$n$项的和。可以设$S_n$表示前$n$项的和，那么有：

$$S_n=1-3!+5!-7!+\cdots+(-1)^{n-1}(2n-1)!$$

将上式乘以$(-1)$，得到：

$$(-1)S_n=-1+3!-5!+7!-\cdots+(-1)^n(2n-1)!$$

将上式与原式相加，得到：

$$S_n+(-1)S_n=1-2\cdot3!+2\cdot5!-2\cdot7!+\cdots+(-1)^{n}(2n-1)!$$

可以发现，右边的式子是一个等比数列的求和，公比为$-2$，首项为$1$。因此，有：

$$S_n=\dfrac{1-(-2)^n}{3}$$

至此，求解完毕。