. 利用 magic 函数生成 5×5 维的魔方矩阵,取其对角向量 e ,并根据向量 e 生成 一个对角矩阵 E 。(所谓魔方矩阵就是各行、各列、各对角线元素之和相等。)matlab
时间: 2024-10-11 15:11:21 浏览: 18
在MATLAB中,可以利用`magic(n)`函数生成给定大小的魔方矩阵,其中n是矩阵的尺寸(这里n=5)。接下来,我们需要找到这个矩阵的对角向量e,然后根据e生成对应的对角矩阵E。以下是实现这一过程的步骤:
1. 首先,使用`magic(5)`生成5x5的魔方矩阵M:
```matlab
M = magic(5);
```
2. 接着,提取魔方矩阵的对角线元素,形成对角向量e:
```matlab
e = diag(M);
```
3. 最后,使用`eye(size(M))`生成一个与M同样大小的单位矩阵,然后将对角线元素替换为e,得到对角矩阵E:
```matlab
E = eye(size(M));
E = E .* reshape(e, [size(E, 1), 1]);
```
完整代码如下:
```matlab
M = magic(5); % 生成5x5魔方矩阵
e = diag(M); % 提取对角线元素
E = eye(size(M)); % 创建单位矩阵
E = E .* reshape(e, [size(E, 1), 1]); % 将对角线元素替换为e
% 检查结果
disp('魔方矩阵 M:')
disp(M)
disp('对角向量 e:')
disp(e)
disp('对角矩阵 E:')
disp(E)
```
运行以上代码后,你会看到魔方矩阵M、对角向量e以及对应生成的对角矩阵E。
相关问题
matlab编程 利用生成一个7阶三对角矩阵,使其对角线的元素为其所在行数的相反数,对角线下方的元素为对应希尔伯特矩阵元素,对角线上方元素为相应魔方矩阵元素
以下是利用MATLAB生成一个7阶三对角矩阵的代码:
```matlab
n = 7; % 矩阵阶数
H = hilb(n); % 生成希尔伯特矩阵
M = magic(n); % 生成魔方矩阵
D = diag(-1:-1:-n); % 生成对角线
L = diag(H(2:n, 1), -1); % 生成对角线下方元素
U = diag(M(1, 2:n), 1); % 生成对角线上方元素
A = D + L + U; % 生成三对角矩阵
```
解释一下代码:
首先指定矩阵的阶数为7,然后利用`hilb()`函数生成一个7阶希尔伯特矩阵,利用`magic()`函数生成一个7阶魔方矩阵。接着,生成一个对角线元素为-1到-7的对角矩阵,其中`-1:-1:-n`是生成一个从-1开始,步长为-1,长度为n的向量。然后,利用`diag()`函数生成对角线下方元素和对角线上方元素,分别是希尔伯特矩阵的第1列(除去第1个元素)和魔方矩阵的第1行(除去第1个元素)。最后,将对角线、对角线下方元素和对角线上方元素相加,得到一个三对角矩阵。
8.按要求生成矩阵并进行相关运算. (1)生成5阶魔方矩阵并求其特征分解. (2)生成8阶哈达玛矩阵并求其LU分解. (3)利用6阶魔方矩阵的前3行,6阶帕斯卡矩阵的第2、3行拼接成的5x 6阶矩阵, 求其奇异值分解. (4)计算5阶希尔伯特矩阵每列的向量p-范数(p= 1, 2, inf, -inf) . (5)生成7阶三对角矩阵,使其对角线的元素为其所在行数的相反数,对角线下方的元 素为对应希尔伯特矩阵元素,对角线下方元素为相应魔方矩阵元素,计算该矩阵的p-范数(p = 1,2,inf)
(1) 5阶魔方矩阵的生成和特征分解:
魔方矩阵是一个$n \times n$的矩阵,其中的元素从$1$到$n^2$排列,使得每一行、每一列和两条对角线上的元素和都相等。以下是5阶魔方矩阵的一个例子:
$$
\begin{bmatrix}
17 & 24 & 1 & 8 & 15 \\
23 & 5 & 7 & 14 & 16 \\
4 & 6 & 13 & 20 & 22 \\
10 & 12 & 19 & 21 & 3 \\
11 & 18 & 25 & 2 & 9
\end{bmatrix}
$$
我们可以使用Python中的numpy库生成魔方矩阵,并使用numpy.linalg库中的eig函数进行特征分解:
```python
import numpy as np
# 生成5阶魔方矩阵
n = 5
magic_square = np.zeros((n,n))
i = n//2
j = n-1
num = 1
while num <= n**2:
magic_square[i,j] = num
num += 1
new_i, new_j = (i-1) % n, (j+1) % n
if magic_square[new_i, new_j]:
i += 1
else:
i, j = new_i, new_j
# 特征分解
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(magic_square)
```
(2) 8阶哈达玛矩阵的生成和LU分解:
哈达玛矩阵是一个$n \times n$的矩阵,其中的元素只能是$1$或$-1$,且满足$HH^T=nI$,其中$I$是$n \times n$的单位矩阵。以下是8阶哈达玛矩阵的一个例子:
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\
1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\
1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\
1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1
\end{bmatrix}
$$
我们可以使用Python中的scipy库生成哈达玛矩阵,并使用scipy.linalg库中的lu函数进行LU分解:
```python
from scipy.linalg import hadamard, lu
# 生成8阶哈达玛矩阵
n = 8
hadamard_matrix = hadamard(n)
# LU分解
P, L, U = lu(hadamard_matrix)
```
(3) 5x6矩阵的生成和奇异值分解:
我们可以使用Python中的numpy库生成5x6矩阵,并使用numpy.linalg库中的svd函数进行奇异值分解。以下是该矩阵的一个例子:
$$
\begin{bmatrix}
17 & 24 & 1 & 8 & 15 & 1 \\
23 & 5 & 7 & 14 & 16 & 1 \\
4 & 6 & 13 & 20 & 22 & 1 \\
\end{bmatrix}
$$
```python
# 生成5x6矩阵
m = np.array([[17, 24, 1, 8, 15, 1],
[23, 5, 7, 14, 16, 1],
[4, 6, 13, 20, 22, 1]])
# 奇异值分解
U, s, V = np.linalg.svd(m)
```
(4) 5阶希尔伯特矩阵每列的向量p-范数(p=1,2,inf,-inf)的计算:
希尔伯特矩阵是一个$n \times n$的矩阵,其中的元素为$H_{i,j}=\frac{1}{i+j-1}$。以下是5阶希尔伯特矩阵的一个例子:
$$
\begin{bmatrix}
1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} \\
\frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} \\
\frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} \\
\frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} & \frac{1}{9}
\end{bmatrix}
$$
我们可以使用Python中的numpy库生成希尔伯特矩阵,并使用numpy.linalg.norm函数计算每列的向量p-范数:
```python
# 生成5阶希尔伯特矩阵
n = 5
hilbert_matrix = np.zeros((n,n))
for i in range(n):
for j in range(n):
hilbert_matrix[i,j] = 1 / (i+j+1)
# 计算每列的向量p-范数
for p in [1, 2, np.inf, -np.inf]:
norms = np.linalg.norm(hilbert_matrix, ord=p, axis=0)
print("p-norms with p={}: {}".format(p, norms))
```
(5) 7阶三对角矩阵的生成和p-范数的计算:
我们可以使用Python中的numpy库生成7阶三对角矩阵,并使用numpy.linalg.norm函数计算其p-范数。以下是该矩阵的一个例子:
$$
\begin{bmatrix}
-1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{3} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \frac{1}{4} & -\frac{1}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{5} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{6} & -\frac{1}{7}
\end{bmatrix}
$$
```python
# 生成7阶三对角矩阵
n = 7
tridiagonal_matrix = np.zeros((n,n))
for i in range(n):
tridiagonal_matrix[i,i] = -i
if i < n-1:
tridiagonal_matrix[i,i+1] = 1/(i+1)
tridiagonal_matrix[i+1,i] = 1/(i+1)
# 计算p-范数
for p in [1, 2, np.inf]:
norm = np.linalg.norm(tridiagonal_matrix, ord=p)
print("p-norm with p={}: {}".format(p, norm))
```