8.按要求生成矩阵并进行相关运算. (1)生成5阶魔方矩阵并求其特征分解. (2)生成8阶哈达玛矩阵并求其LU分解. (3)利用6阶魔方矩阵的前3行，6阶帕斯卡矩阵的第2、3行拼接成的5x 6阶矩阵， 求其奇异值分解. (4)计算5阶希尔伯特矩阵每列的向量p-范数(p= 1, 2, inf, -inf) . (5)生成7阶三对角矩阵，使其对角线的元素为其所在行数的相反数，对角线下方的元 素为对应希尔伯特矩阵元素，对角线下方元素为相应魔方矩阵元素，计算该矩阵的p-范数(p = 1，2，inf)

(1) 5阶魔方矩阵的生成和特征分解：

魔方矩阵是一个$n \times n$的矩阵，其中的元素从$1$到$n^2$排列，使得每一行、每一列和两条对角线上的元素和都相等。以下是5阶魔方矩阵的一个例子：

$$
\begin{bmatrix}
17 & 24 & 1 & 8 & 15 \\
23 & 5 & 7 & 14 & 16 \\
4 & 6 & 13 & 20 & 22 \\
10 & 12 & 19 & 21 & 3 \\
11 & 18 & 25 & 2 & 9
\end{bmatrix}
$$

我们可以使用Python中的numpy库生成魔方矩阵，并使用numpy.linalg库中的eig函数进行特征分解：

import numpy as np

# 生成5阶魔方矩阵
n = 5
magic_square = np.zeros((n,n))
i = n//2
j = n-1
num = 1
while num <= n**2:
    magic_square[i,j] = num
    num += 1
    new_i, new_j = (i-1) % n, (j+1) % n
    if magic_square[new_i, new_j]:
        i += 1
    else:
        i, j = new_i, new_j

# 特征分解
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(magic_square)

(2) 8阶哈达玛矩阵的生成和LU分解：

哈达玛矩阵是一个$n \times n$的矩阵，其中的元素只能是$1$或$-1$，且满足$HH^T=nI$，其中$I$是$n \times n$的单位矩阵。以下是8阶哈达玛矩阵的一个例子：

$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\
1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\
1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\
1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1
\end{bmatrix}
$$

我们可以使用Python中的scipy库生成哈达玛矩阵，并使用scipy.linalg库中的lu函数进行LU分解：

from scipy.linalg import hadamard, lu

# 生成8阶哈达玛矩阵
n = 8
hadamard_matrix = hadamard(n)

# LU分解
P, L, U = lu(hadamard_matrix)

(3) 5x6矩阵的生成和奇异值分解：

我们可以使用Python中的numpy库生成5x6矩阵，并使用numpy.linalg库中的svd函数进行奇异值分解。以下是该矩阵的一个例子：

$$
\begin{bmatrix}
17 & 24 & 1 & 8 & 15 & 1 \\
23 & 5 & 7 & 14 & 16 & 1 \\
4 & 6 & 13 & 20 & 22 & 1 \\
\end{bmatrix}
$$

# 生成5x6矩阵
m = np.array([[17, 24, 1, 8, 15, 1],
              [23, 5, 7, 14, 16, 1],
              [4, 6, 13, 20, 22, 1]])

# 奇异值分解
U, s, V = np.linalg.svd(m)

(4) 5阶希尔伯特矩阵每列的向量p-范数(p=1,2,inf,-inf)的计算：

希尔伯特矩阵是一个$n \times n$的矩阵，其中的元素为$H_{i,j}=\frac{1}{i+j-1}$。以下是5阶希尔伯特矩阵的一个例子：

$$
\begin{bmatrix}
1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} \\
\frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} \\
\frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} \\
\frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} & \frac{1}{9}
\end{bmatrix}
$$

我们可以使用Python中的numpy库生成希尔伯特矩阵，并使用numpy.linalg.norm函数计算每列的向量p-范数：

# 生成5阶希尔伯特矩阵
n = 5
hilbert_matrix = np.zeros((n,n))
for i in range(n):
    for j in range(n):
        hilbert_matrix[i,j] = 1 / (i+j+1)

# 计算每列的向量p-范数
for p in [1, 2, np.inf, -np.inf]:
    norms = np.linalg.norm(hilbert_matrix, ord=p, axis=0)
    print("p-norms with p={}: {}".format(p, norms))

(5) 7阶三对角矩阵的生成和p-范数的计算：

我们可以使用Python中的numpy库生成7阶三对角矩阵，并使用numpy.linalg.norm函数计算其p-范数。以下是该矩阵的一个例子：

$$
\begin{bmatrix}
-1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{3} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \frac{1}{4} & -\frac{1}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{5} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{6} & -\frac{1}{7}
\end{bmatrix}
$$

# 生成7阶三对角矩阵
n = 7
tridiagonal_matrix = np.zeros((n,n))
for i in range(n):
    tridiagonal_matrix[i,i] = -i
    if i < n-1:
        tridiagonal_matrix[i,i+1] = 1/(i+1)
        tridiagonal_matrix[i+1,i] = 1/(i+1)

# 计算p-范数
for p in [1, 2, np.inf]:
    norm = np.linalg.norm(tridiagonal_matrix, ord=p)
    print("p-norm with p={}: {}".format(p, norm))