C语言对称矩阵行列式求法

在C语言中计算对称矩阵的行列式，可以使用高斯消元或者利用矩阵的特性来简化计算。对称矩阵意味着它的主对角线元素相等，其他元素关于主对角线是对称的。例如，一个3x3的对称矩阵会看起来像这样：

| a b c |
| b a d |
| c d a |

其中a = d且b = c。

对于这类矩阵，有快速的算法可以利用这种特殊结构来计算行列式。你可以选择以下几种方法之一：

1. **LU分解**：首先将对称矩阵转换成上三角形式（U），然后通过乘积 `det(A) = det(U) * det(L)` 计算行列式，其中L是下三角矩阵，因为对称矩阵的L和U是对称的，这一步可以用递归公式完成。

2. **特征值方法**：由于对称矩阵的实数特征值是唯一确定的，可以先找到特征值，然后行列式就是特征值之积。计算特征值通常涉及解特征多项式，但这需要额外的库支持，比如数值计算库。

3. **行主序展开**：可以选择行主序（即按行交替展开法则），对称矩阵在这种情况下展开后的系数是相同的，这能简化计算过程。

// 示例代码片段（非完整版）
#include <stdio.h>

double determinant(int n, double matrix[n][n]) {
    if (n == 2) {
        return matrix[0][0] * matrix[1][1] - matrix[0][1] * matrix[1][0];
    } else {
        int i;
        double sub_determinant = 0.0;

        for (i = 0; i < n; i++) {
            // 按行交替展开
            sub_determinant += matrix[0][i] * determinant(n - 1, &matrix[1][i]);
        }
        return sub_determinant;
    }
}

int main() {
    double symmetric_matrix[3][3] = { {1, 2, 2}, {2, 1, 2}, {2, 2, 1} };
    printf("The determinant is: %.2f\n", determinant(3, symmetric_matrix));
    return 0;
}