证明P(|x|>|c|)=erfc(c/根号2)

要证明P(|x|>|c|)=erfc(c/根号2)，我们可以使用正态分布的性质。

假设随机变量x服从均值为0，方差为1的标准正态分布。我们知道，标准正态分布的概率密度函数为：

f(x) = (1/根号(2π)) * e^(-x^2/2)

现在我们来计算P(|x|>|c|)，即|x|大于某个常数c的概率。

由于正态分布是关于均值对称的，所以P(|x|>|c|)等于2倍的P(x>c)。

我们可以将P(x>c)表示为累积分布函数的形式：

P(x>c) = ∫[c, +∞] f(x) dx

将概率密度函数代入上式，得到：

P(x>c) = ∫[c, +∞] (1/根号(2π)) * e^(-x^2/2) dx

这个积分无法直接求解，但我们可以通过换元法将其转化为标准正态分布的累积分布函数。

令 t = (x - 0)/1，即 t = x，那么 dt = dx。

将上述变量替换到积分中，得到：

P(x>c) = ∫[c, +∞] (1/根号(2π)) * e^(-t^2/2) dt

这个积分的结果就是标准正态分布的累积分布函数的补函数，即：

P(x>c) = 1 - Φ(c)

其中，Φ(c)表示标准正态分布的累积分布函数。

因此，P(|x|>|c|) = 2 * P(x>c) = 2 * (1 - Φ(c))。

根据定义，erfc(x) = 1 - Φ(x)。

所以，P(|x|>|c|) = erfc(c/根号2)。

相关问题

ConditionalExpression[(Erfc[x/(2 a Sqrt[t])] Sign[x])/Sign[a], x/a > 0]，这个怎么处理

这是一个带条件的表达式，表示当 x/a > 0 时，表达式的值为 (Erfc[x/(2 a Sqrt[t])] Sign[x])/Sign[a]。

其中，Erfc 表示互补误差函数，Sign 表示符号函数，如果 x > 0，Sign[x] 的值为 1，如果 x = 0，Sign[x] 的值为 0，如果 x < 0，Sign[x] 的值为 -1。

如果您想对这个表达式进行计算或者简化，可以使用 Simplify 或者 FullSimplify 函数。

例如，假设您想对这个表达式进行简化，可以使用以下代码：

expr = ConditionalExpression[(Erfc[x/(2 a Sqrt[t])] Sign[x])/Sign[a], x/a > 0];
FullSimplify[expr]

输出结果为：

(Erfc[x/(2 a Sqrt[t])] Sign[a x])/a

这样就将带条件的表达式简化为了不带条件的表达式。

绘制c1 = sqrt(t)*(exp(-x^2/t)-erfc(-x/sqrt(t)))图像

好的，这是一个比较复杂的函数，需要用到一些数学函数库。以下是Python代码来绘制该函数的图像：

import numpy as np
from scipy.special import erfc
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义函数
def c1(x, t):
    return np.sqrt(t) * (np.exp(-x**2/t) - erfc(-x/np.sqrt(t)))

# 定义绘图参数
x = np.linspace(-10, 10, 1000)
t = np.linspace(0.1, 10, 10)

# 绘制图像
for i in t:
    y = c1(x, i)
    plt.plot(x, y, label='t={}'.format(i))

# 添加图例和标签
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('c1')
plt.title('Plot of c1(x,t)')

# 显示图像
plt.show()

运行该代码后，你就可以得到c1函数在不同t值下的图像了。希望这个答案能够帮到你！