有限元法计算悬臂梁例题

### 关于使用有限元法计算悬臂梁的示例题目

#### 定义问题
考虑一个简单的悬臂梁模型，其一端固定而另一端自由。该结构受到垂直向下的力作用。为了简化起见，假设梁为线弹性材料，并采用平面应力条件。

#### 几何参数设定
设梁长度 \( L \)，宽度 \( b \)，厚度 \( t \)；并给定相应的材料属性如杨氏模量 \( E_0 \)[^2] 和泊松比 \( ν \)。对于此案例研究中的几何尺寸和载荷可以选取如下典型数值：

- 材料特性：
- 扬氏模数：\( E_0 = 210 GPa \)
- 泊松比：\( ν = 0.3 \)

- 结构尺寸：
- 长度：\( L = 1 m \)
- 宽度：\( b = 0.1 m \)
- 厚度：\( t = 0.01 m \)

- 外部施加力：
- 力大小：\( F_z = -1 kN \)

#### 离散化过程
将连续体离散成多个三角形单元组成的网格体系[^1]。这里可以选择合适的单元数量来平衡精度与计算效率之间的关系。通常情况下，在初步设计阶段可先尝试较少数目（比如每边划分几个单元），之后再逐步细化直至满足收敛标准为止。

% 创建节点坐标数组 nodes (nNodes, dim), nNodes表示总节点数,dim=2代表二维空间；
nodes = [...]; % 用户需自行定义具体的节点位置数据

% 构建连通性表 elements (nElements, nVerticesPerElement);
elements = [...]; % 用户应指定各元素所连接的具体顶点编号

#### 组装整体刚度矩阵
通过遍历所有局部单元贡献项并将它们累加以形成全局方程组的核心部分——即总体刚阵 K 。注意此处涉及到了形函数 N 及其导数 B 的构建方法论 ，这些都依赖具体选用何种类型的插值模式（例如一次多项式、二次多项式等）。

function assembleGlobalStiffnessMatrix(K_global, elements, materialProperties, geometryData)
    ...
end

#### 施加载荷边界条件
针对特定物理场景设置必要的约束措施以及外力输入方式。本例子中涉及到的是完全固定的左端面以及集中力形式的作用效果描述。

% 边界条件处理
fixedDOFs = find(nodes(:,1)==min(nodes(:,1))); % 左侧固定位移为零
appliedForces = zeros(size(nodes,1)*size(geometryData.dim,1),1); 
appliedForces(end-size(elements,1)+1:end)=-Fz; % 最后一行对应最右端受力情况

#### 解决线性代数方程求解未知变量
利用MATLAB内置命令 `mldivide` 或者其他高效算法库来进行稀疏矩阵运算从而获得最终解答结果 u[].

u = K_global(freeDOFs,freeDOFs)\(-K_global(fixedDOFs, freeDOFs)'*u_fixed + appliedForces(freeDOFs));
disp(u);