薄膜波导，n1 =1.64, n2=n3=1.51, a=10μm试画出TE，TM模的归一化色散曲线。使用matlab代码解决此问题

薄膜波导（Film Waveguide）通常是指在两个折射率不同的介质之间的一层薄材料，这里给出的是 TE (Transverse Electric) 模和 TM (Transverse Magnetic) 模的归一化色散方程。对于TE模式，电磁场的电场矢量平行于结构，而TM模式则是磁场矢量平行。在这个系统中，我们有：

- TE模的色散关系可以用瑞利-Wentzel-Kramers-布拉赫（RWKB）近似来表示：
\[ \beta^2 = \frac{n_2 k}{n_1} - \frac{\lambda^2}{a^2} \]

- TM模的色散类似，但由于TM模式中电场垂直于界面，光速会受到额外的影响，其色散关系稍有变化：
\[ \beta^2 = \frac{n_2 k^2}{n_1^2} - \frac{\lambda^2}{a^2} \]

其中 \( \beta \) 是模式的传播常数，\( k \) 是自由空间的波数，\( \lambda \) 是光的波长，\( n_1 \) 和 \( n_2 \) 分别是两层媒质的折射率。

在MATLAB中绘制这些曲线，你可以使用`plot`函数，并结合循环遍历不同波长，计算对应的 \( \beta \)，然后归一化到 \( \frac{\beta}{\lambda} \) 来显示色散特性。以下是简单示例代码（假设`n1`, `n2`, `n3`, `a`已定义）：

% 定义常数值
n1 = 1.64;
n2 = 1.51;
n3 = 1.51;
a = 1e-7; % 单位转换为米

% 波长范围
wl_min = 400e-9; % 红外至可见光的最小波长
wl_max = 800e-9; % 可见光的最大波长
dwl = 1e-9; % 波长步长

% 初始化归一化色散数组
dispersion_TE = [];
dispersion_TM = [];

for wl = wl_min:dwl:wl_max
    % 计算TE和TM模式的β值
    k = 2*pi/wl;
    beta_TE = sqrt(n2*k/n1 - (wl/a)^2);
    beta_TM = sqrt((n2*k.^2)/(n1.^2) - (wl/a)^2);
    
    % 归一化并添加到数组
    dispersion_TE = [dispersion_TE, beta_TE/wl];
    dispersion_TM = [dispersion_TM, beta_TM/wl];
end

% 绘制归一化色散曲线
figure;
hold on;
plot(wl_min:dwl:wl_max, dispersion_TE, 'b', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'TE Mode');
plot(wl_min:dwl:wl_max, dispersion_TM, 'r', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'TM Mode');
xlabel('Normalized Wavelength (\( \lambda/\lambda_0 \))');
ylabel('Normalized Propagation Constant (\(\beta/\lambda\) )');
legend('Location', 'best');
title(['TE and TM Modes for Film Waveguide with n1 = ', num2str(n1), ', n2 = n3 = ', num2str(n2), ', a = ', num2str(a*1e6), ' μm']);

执行这段代码后，你应该能看到TE和TM模式的归一化色散曲线。请注意，实际应用中可能需要对这些公式做一些修正，因为上述示例基于瑞利模型，对于某些特定频率范围可能存在误差。如果需要更精确的结果，可能需要考虑使用更为复杂的数值方法或专用光学软件。