卷积是线性还是非线性? 是齐次还是非齐次?给出答案并予以证明。
时间: 2023-06-15 20:03:10 浏览: 38
卷积既是线性的又是齐次的运算。
线性性质可以表示为:设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的两个函数,$a$ 和 $b$ 是任意的常数,则有:
$$
\begin{aligned}
&\quad\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f(x)*[a \cdot g(x) + b \cdot h(x)] \\
&= \int_{-\infty}^{\infty}f(t)[a \cdot g(x-t) + b \cdot h(x-t)]\mathrm{d}t \\
&= a \int_{-\infty}^{\infty}f(t)g(x-t)\mathrm{d}t + b \int_{-\infty}^{\infty}f(t)h(x-t)\mathrm{d}t \\
&= a \cdot f(x)*g(x) + b \cdot f(x)*h(x)
\end{aligned}
$$
这就是线性性质的定义。也就是说,卷积运算满足线性性质。
齐次性质可以表示为:设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的两个函数,则有:
$$
\begin{aligned}
f(x)*g(x-a) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)g(x-t-a)\mathrm{d}t = g(x)*f(x-a)
\end{aligned}
$$
这就是齐次性质的定义。也就是说,卷积运算满足齐次性质。
因此,卷积运算既是线性的又是齐次的。
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