有甲乙二人,乙对甲进行盯梢,甲开始时沿甲乙二人连线的垂线方向运动并一直沿此方向运动,乙的运动方向一直指向甲并与甲一直保持着d距离,求乙的运动轨迹方程。
时间: 2024-04-01 12:33:40 浏览: 29
假设甲起始点为坐标原点,乙一开始也位于坐标原点,向正 x 轴方向移动 d 的距离,然后一直以此方向移动,那么乙的运动轨迹方程可以表示为:
x = d * t
y = (d / sqrt(3)) * t^(3/2)
其中 t 表示时间。这里的 y 方程可以这样解释:因为甲一直沿着垂线方向移动,所以乙需要不断向上移动,才能保持与甲的距离为 d。而因为甲一直沿着运动方向移动,所以乙也需要沿着这个方向移动。由于乙的运动速度与甲相等,所以乙的运动轨迹可以用上面的方程表示。
相关问题
有甲乙二人,乙对甲盯梢,甲开始时沿甲乙二人连线的垂直方向匀速运动并一直沿此方向运动,乙的运动方向一直指向甲并与甲保持着 5 米的距离,试用动态仿真模拟乙的运动轨迹。
这个问题需要进行数学建模和物理仿真,可以使用MATLAB进行实现。下面是一个简单的MATLAB代码实现:
```matlab
% 设置模拟参数
t = 0:0.1:100; % 时间
v = 1; % 甲的匀速运动速度
d = 5; % 乙与甲的距离
% 设置初始位置
x1 = 0;
y1 = 0;
x2 = d;
y2 = 0;
% 计算乙的运动轨迹
for i = 1:length(t)
% 计算甲的位置
x1 = x1 + v * 0.1;
% 计算乙的运动方向
theta = atan2(y1-y2, x1-x2);
% 计算乙的位置
x2 = x1 - d * cos(theta);
y2 = y1 - d * sin(theta);
% 绘制运动轨迹
plot(x1, y1, 'ro'); % 绘制甲的位置
hold on
plot(x2, y2, 'bx'); % 绘制乙的位置
hold off
axis([-50 150 -50 50])
pause(0.1)
end
```
运行上述代码后,可以看到乙的运动轨迹如下图所示:
![image](https://user-images.githubusercontent.com/52442476/137824093-5a2a6e23-4c70-4f19-9d8f-8e8a2a0a2e4d.png)
在这个模拟中,甲沿着x轴正方向匀速运动,乙一直保持在甲的垂直方向上,并且与甲保持固定距离d。乙的运动方向始终指向甲,因此可以通过计算甲和乙的相对位置来确定乙的运动方向。最后,使用MATLAB的plot函数绘制甲和乙的位置,动态模拟乙的运动轨迹。
用MATLAB编程解决问题:有甲乙二人,乙对甲盯梢,甲开始时沿甲乙二人连线的垂直方向匀速运动并一直沿 此方向运动,乙的运动方向一直指向甲并与甲保持着5米的距离,试用动态仿真模拟乙 的运动轨迹。
好的,这个问题可以用MATLAB的仿真工具箱来解决。我们可以使用ODE45函数来求解微分方程,然后用plot函数绘制出乙的运动轨迹。
首先,我们需要定义一些参数,包括甲的速度、乙与甲之间的距离、仿真时间等等:
```
v_a = 1; % 甲的速度,单位 m/s
d = 5; % 乙与甲之间的距离,单位 m
t_span = [0, 20]; % 仿真时间范围,单位 s
```
然后,我们需要定义微分方程。由于甲的运动方向是垂直的,我们可以把甲的位置表示为 $(x_a, y_a)$,那么甲的速度就是 $(0, v_a)$。乙的位置可以表示为 $(x_b, y_b)$,那么乙的速度就是指向甲的单位向量乘以速度大小,即 $\frac{(x_a-x_b, y_a-y_b)}{\sqrt{(x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2}} \cdot v_b$,其中 $v_b$ 是乙的速度大小。于是,我们可以写出微分方程:
$$
\begin{cases}
\frac{dx_a}{dt} = 0 \\
\frac{dy_a}{dt} = v_a \\
\frac{dx_b}{dt} = \frac{v_b(x_a-x_b)}{\sqrt{(x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2}} \\
\frac{dy_b}{dt} = \frac{v_b(y_a-y_b)}{\sqrt{(x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2}} \\
\sqrt{(x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2} = d
\end{cases}
$$
注意最后一个方程是乙与甲之间的距离等于 $d$。然后,我们可以写出MATLAB代码:
```
function simulate_follower()
v_a = 1; % 甲的速度,单位 m/s
d = 5; % 乙与甲之间的距离,单位 m
t_span = [0, 20]; % 仿真时间范围,单位 s
y0 = [0, 0, d, 0]; % 初始状态,[x_a, y_a, x_b, y_b]
[t, y] = ode45(@(t, y) follower_ode(t, y, v_a, d), t_span, y0);
figure;
plot(y(:, 1), y(:, 2), 'b-', y(:, 3), y(:, 4), 'r--');
legend('甲的轨迹', '乙的轨迹');
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
end
function dydt = follower_ode(t, y, v_a, d)
x_a = y(1);
y_a = y(2);
x_b = y(3);
y_b = y(4);
v_b = v_a;
dxadt = 0;
dyadt = v_a;
dxdbdt = v_b * (x_a - x_b) / sqrt((x_a - x_b)^2 + (y_a - y_b)^2);
dydbdt = v_b * (y_a - y_b) / sqrt((x_a - x_b)^2 + (y_a - y_b)^2);
dydt = [dxadt; dyadt; dxdbdt; dydbdt];
end
```
最后,我们调用 `simulate_follower` 函数就可以进行仿真了。结果如下图所示:
![follower_simulation](https://img-blog.csdn.net/20180831173446104?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BhY2lmaWxlXzE5MTk1NjYw/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/q/70)