\lim \limits _{(x,y) \in IR^{2}}f(x)=(x-1)^{2}+y-2 s. t. h( x) = y - x - 1 = 0 g(x) =x+y - 2≤ 0. 计算满足KKT条件的点，并利用二阶条件验证上述点是否是局部极小值点.

首先列出拉格朗日函数：
$$
L(x,y,\alpha,\beta)=f(x)-\alpha h(x)-\beta g(x)
$$
其中，$\alpha$ 和 $\beta$ 是拉格朗日乘子。

根据KKT条件，有：
$$
\begin{aligned}
&\nabla f(x)-\alpha \nabla h(x)-\beta \nabla g(x)=0\\
&h(x)=0\\
&g(x)\le 0\\
&\beta\ge 0\\
&\beta g(x)=0\\
\end{aligned}
$$

将$f(x)$和$h(x)$代入，可得：
$$
\begin{aligned}
&\begin{cases}
2(x-1)-\alpha-\beta=0\\
1-\alpha=0\\
x+y-2\le 0\\
\beta\ge 0\\
\beta(x+y-2)=0\\
\end{cases}\\
\Rightarrow&\begin{cases}
\alpha=1\\
\beta=0\\
x+y-2\le 0\\
\end{cases}
\end{aligned}
$$

因此，满足KKT条件的点为：
$$
(x,y)=(1,1)
$$

接下来，利用二阶条件验证$(1,1)$是否是局部极小值点。

首先，计算$\nabla^2 f(x)$：
$$
\nabla^2 f(x)=\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}
$$

然后，计算$\nabla h(x)$和$\nabla g(x)$：
$$
\nabla h(x)=\begin{pmatrix}
-1 \\
1 \\
\end{pmatrix}
$$
$$
\nabla g(x)=\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
\end{pmatrix}
$$

接着，计算$\nabla^2 L(x)$：
$$
\nabla^2 L(x)=\nabla^2 f(x)-\alpha \nabla^2 h(x)-\beta \nabla^2 g(x)
$$
$$
\nabla^2 L(x)=\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}
$$

因为$\nabla^2 L(x)$是正定的，所以$(1,1)$是局部极小值点。