设函数 f(x)在0的邻域内有导数 f(0)=0,f'(0)/=0,计算极限lim(lim)┬(x→0) (∫_0^x▒(x-t)f(t)ⅆt)/(x∫_0^x▒f(x-t)ⅆt)
时间: 2024-05-27 15:14:51 浏览: 12
由洛必达法则,我们有:
$\lim\limits_{x\to0}\frac{\int_0^x(x-t)f(t)dt}{x\int_0^xf(x-t)dt}=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)x-\int_0^xf(t)dt}{\int_0^xf(x-t)dt+xf(x)}$
再次使用洛必达法则,得到:
$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{-f'(0)+f'(x)}=\frac{1}{2}$
因此,$\lim\limits_{x\to0}\frac{\int_0^x(x-t)f(t)dt}{x\int_0^xf(x-t)dt}=\frac{1}{2}$。
相关问题
limx→0 (f(x-1)/ln(x-1)=1推出f(x-1)
### 回答1:
根据题目中给出的条件,当x趋近于0时,limx→0(f(x-1)/ln(x-1))=1。因为分子分母的极限都存在,所以可以使用洛必达法则进行求解。具体来说,可以将f(x-1)表示为ln(x-1)乘以limx→0(f(x-1)/ln(x-1)),即f(x-1)=ln(x-1)。因此,根据这个推导,我们可以得到f(x-1)=ln(x-1)。
### 回答2:
题目给出了函数极限的条件,即$\lim_{x\to 0} \frac{f(x-1)}{\ln(x-1)}=1$,我们需要推导出$f(x-1)$的表达式。
由于函数极限的定义,对于任意给定的 $\varepsilon>0$,存在一个 $\delta>0$,对于所有满足$0<|x-0|<\delta$的$x$,都有
$\left|\frac{f(x-1)}{\ln(x-1)}-1\right|<\varepsilon$。也就是说,当$x$趋近于$0$时,$f(x-1)$也要趋近于$\ln(x-1)$。
首先,考虑$x-1$趋近于$0$的情况,即$x$趋近于$1$时,我们可以得到$\lim_{x\to 1} f(x-1) = \ln(1-1) = \ln(0)$。根据极限的性质,当一个函数趋近于无穷时,它的极限不存在。因此,我们无法得知$f(x-1)$在$x=1$处的取值。
接下来,我们看当$x-1$趋近于$0$时,函数$f(x-1)$的行为。我们可以将$x-1$记作$h$,则$x$可以表示为$h+1$,并且当$h$趋近于$0$时,$x$趋近于$1$。那么我们有
$$\lim_{h\to 0} f(h) = \lim_{x\to 1} f(x-1) = \ln(0)$$
这意味着在$x=1$的邻域内,函数$f(x-1)$的极限趋近于$\ln(0)$。
由于$\ln(0)$是不存在的,我们无法确定$f(x-1)$在$x=1$处的取值。因此,根据已给的条件$\lim_{x\to 0} \frac{f(x-1)}{\ln(x-1)}=1$,我们无法推出$f(x-1)$的表达式。
综上所述,在已给条件下,无法确定函数$f(x-1)$的具体表达式。
### 回答3:
根据题目中的条件 limx→0 (f(x-1)/ln(x-1))=1,我们需要推出f(x-1)的表达式。
首先,我们可以进行一些代数性质的运算,以便将给定条件转化为我们需要的形式。
首先,我们可以将 limx→0 (f(x-1)/ln(x-1))=1 进行等价变形:
limx→0 f(x-1) = limx→0 ln(x-1)
然后,我们在查阅自然对数函数的定义域时,可以发现ln(x-1)的定义域为x>1,因此我们需要将limx→0的条件转化为x>1的条件。这时,我们可以进行变量替换。
令t = x-1,当x趋近于0时,t也趋近于-1。因此,我们可以将limx→0的条件转化为limt→-1的条件。
将x = t+1代入上面的等式中,得到:
limt→-1 f(t) = limt→-1 ln(t)
现在,我们可以看到右侧的等式与题目中的条件相同。因此,我们可以得出结论:
f(x-1) = ln(x-1)
这就是根据 limx→0 (f(x-1)/ln(x-1))=1 推出的f(x-1)的表达式。
需要注意的是,这个推导过程中,我们使用了一些代数运算和变量替换来得到等价的表达式。这种推导方法仅适用于满足题目中给定条件的情况下。
f(x)=sin(x)泰勒展开式的详细解释
泰勒展开式是将一个函数在某个点附近用无限多项式逼近的方法,其中泰勒级数是一种特殊的泰勒展开式。对于函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的泰勒级数可以表示为:
$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$
其中 $f^{(n)}(a)$ 表示 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的 $n$ 阶导数。这个公式的意义是将函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 的邻域内展开成一个无限次可微、可积的多项式,即泰勒级数。
以 $f(x)=\sin(x)$ 为例,我们可以通过对其在 $x=0$ 处进行泰勒展开,得到:
$$\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$$
这里的 $n!$ 表示 $n$ 的阶乘,即 $n!=n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times2\times1$。通过保留足够多的项,我们可以用这个展开式来近似计算 $\sin(x)$ 的值,因为在 $x$ 趋近于 $0$ 的时候,展开式中多项式的值逐渐趋近于 $\sin(x)$ 的值。
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