设函数 f(x)在0的邻域内有导数 f(0)=0，f'(0)/=0，计算极限lim(lim)┬(x→0) (∫_0^x▒(x-t)f(t)ⅆt)/(x∫_0^x▒f(x-t)ⅆt)

由洛必达法则，我们有：
$\lim\limits_{x\to0}\frac{\int_0^x(x-t)f(t)dt}{x\int_0^xf(x-t)dt}=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)x-\int_0^xf(t)dt}{\int_0^xf(x-t)dt+xf(x)}$
再次使用洛必达法则，得到:
$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{-f'(0)+f'(x)}=\frac{1}{2}$
因此，$\lim\limits_{x\to0}\frac{\int_0^x(x-t)f(t)dt}{x\int_0^xf(x-t)dt}=\frac{1}{2}$。

相关问题

matlab求x＝0附近的最小值

在MATLAB中，你可以使用优化工具箱中的函数如fminbnd来寻找给定函数在特定区间内的最小值，特别是当你知道最小值应该接近于某个特定点，比如0的情况下。这里是一个基本步骤：

首先，假设你有一个你想找到最小值的函数 fun(x)，你需要提供这个函数作为fminbnd的第一个参数。

然后，设置搜索区间的上下界，通常你会将它们设为0附近的小范围，例如a = -epsilon, b = epsilon，其中epsilon是极小正数，代表0的邻域。

写一个简短的函数，如果fun(x) < tol（tol是你的容差阈值），那么返回x，否则返回inf（无穷大），这样可以确保fminbnd会找寻最小值而不是极大值。

function result = myFunctionToMinimize(x)
if fun(x) < tol
result = x;
else
result = inf; % 返回一个大于任何已知值的大值
end
end

[x_min, fval] = fminbnd(@myFunctionToMinimize, a, b);

这里的@myFunctionToMinimize是把myFunctionToMinimize作为一个匿名函数传递给fminbnd。

limx→0 (f(x-1)/ln(x-1)=1推出f(x-1)

回答1：
根据题目中给出的条件，当x趋近于0时，limx→0(f(x-1)/ln(x-1))=1。因为分子分母的极限都存在，所以可以使用洛必达法则进行求解。具体来说，可以将f(x-1)表示为ln(x-1)乘以limx→0(f(x-1)/ln(x-1))，即f(x-1)=ln(x-1)。因此，根据这个推导，我们可以得到f(x-1)=ln(x-1)。
回答2：
题目给出了函数极限的条件，即$\lim_{x\to 0} \frac{f(x-1)}{\ln(x-1)}=1$，我们需要推导出$f(x-1)$的表达式。
由于函数极限的定义，对于任意给定的 $\varepsilon>0$，存在一个 $\delta>0$，对于所有满足$0<|x-0|<\delta$的$x$，都有
$\left|\frac{f(x-1)}{\ln(x-1)}-1\right|<\varepsilon$。也就是说，当$x$趋近于$0$时，$f(x-1)$也要趋近于$\ln(x-1)$。
首先，考虑$x-1$趋近于$0$的情况，即$x$趋近于$1$时，我们可以得到$\lim_{x\to 1} f(x-1) = \ln(1-1) = \ln(0)$。根据极限的性质，当一个函数趋近于无穷时，它的极限不存在。因此，我们无法得知$f(x-1)$在$x=1$处的取值。
接下来，我们看当$x-1$趋近于$0$时，函数$f(x-1)$的行为。我们可以将$x-1$记作$h$，则$x$可以表示为$h+1$，并且当$h$趋近于$0$时，$x$趋近于$1$。那么我们有
$$\lim_{h\to 0} f(h) = \lim_{x\to 1} f(x-1) = \ln(0)$$
这意味着在$x=1$的邻域内，函数$f(x-1)$的极限趋近于$\ln(0)$。
由于$\ln(0)$是不存在的，我们无法确定$f(x-1)$在$x=1$处的取值。因此，根据已给的条件$\lim_{x\to 0} \frac{f(x-1)}{\ln(x-1)}=1$，我们无法推出$f(x-1)$的表达式。
综上所述，在已给条件下，无法确定函数$f(x-1)$的具体表达式。
回答3：
根据题目中的条件 limx→0 (f(x-1)/ln(x-1))=1，我们需要推出f(x-1)的表达式。
首先，我们可以进行一些代数性质的运算，以便将给定条件转化为我们需要的形式。
首先，我们可以将 limx→0 (f(x-1)/ln(x-1))=1 进行等价变形：
limx→0 f(x-1) = limx→0 ln(x-1)
然后，我们在查阅自然对数函数的定义域时，可以发现ln(x-1)的定义域为x>1，因此我们需要将limx→0的条件转化为x>1的条件。这时，我们可以进行变量替换。
令t = x-1，当x趋近于0时，t也趋近于-1。因此，我们可以将limx→0的条件转化为limt→-1的条件。
将x = t+1代入上面的等式中，得到：
limt→-1 f(t) = limt→-1 ln(t)
现在，我们可以看到右侧的等式与题目中的条件相同。因此，我们可以得出结论：
f(x-1) = ln(x-1)
这就是根据 limx→0 (f(x-1)/ln(x-1))=1 推出的f(x-1)的表达式。
需要注意的是，这个推导过程中，我们使用了一些代数运算和变量替换来得到等价的表达式。这种推导方法仅适用于满足题目中给定条件的情况下。