用matlab求f(x)=2-(x-1)^(2/3)的单调区间

在 MATLAB 中，我们可以使用 `fzero` 函数来找到函数的根，并结合 `derivative` 或 `diff` 函数来分析函数的单调性。首先，我们需要计算函数 `f(x)` 的导数，然后确定它大于0或小于0的区间，这将给出函数的增区和减区间。

对于给定的函数 `f(x) = 2 - (x - 1)^(2/3)`，其导数 `f'(x)` 是：

\[ f'(x) = \frac{d}{dx} [2 - (x - 1)^{\frac{2}{3}}] = -\frac{2}{3}(x - 1)^{-\frac{1}{3}} \]

为了找出单调区间，我们设定 `f'(x) > 0` 和 `f'(x) < 0` 并解不等式。由于 `f'(x)` 随着 x 的增大先变为正，然后变为负（因为 `(x - 1)` 的立方根会从负变到正），单调递增区间是从 x=1 到某个点，而单调递减区间是从这个点到正无穷。

以下是 MATLAB 代码示例：

% 定义函数
f = @(x) 2 - (x - 1)^(2/3);

% 计算导数
df = @(x) -2*(x - 1).^(1/3)/3;

% 找出导数为零的点（可能不是唯一根）
critical_points = roots(df);

% 确定单调区间
monotonic_regions = [];
for i = 1:length(critical_points)
    % 检查左邻域的单调性
    left_monotone = df(critical_points(i) - small_number);
    
    % 检查右邻域的单调性
    right_monotone = df(critical_points(i) + small_number);
    
    % 如果左邻域单调上升，右邻域单调下降，则添加区间
    if left_monotone > 0 && right_monotone < 0
        monotonic_regions{i+1,1} = critical_points(i);
        monotonic_regions{i+1,2} = Inf;
    elseif left_monotone < 0 && right_monotone > 0
        % 区间从上一区间结束，到当前点
        monotonic_regions{i,2} = critical_points(i);
    end
end

% 将 Inf 替换为最后一个点的值，如果存在的话
if ~isempty(monotonic_regions(end,2))
    monotonic_regions(end,2) = inf;
end

% 显示结果
disp("单调增区间：");
disp(monotonic_regions(:,1:2));
disp("单调减区间：");

这里 `small_number` 是一个小数值（例如 `eps`），用于判断临界点附近的导数符号变化。请注意，实际运行此代码时需要替换 `small_number` 为 MATLAB 内置的极小正值，如 `eps`。