在线性RNN上通过时间反向传播计算梯度。

在线性RNN上通过时间反向传播计算梯度的过程可以简单地分为以下几个步骤：

1. 初始化梯度：将最终输出的梯度设置为1。

2. 反向传播：从最后一步开始，计算每个时间步的梯度。

3. 计算权重梯度：根据每个时间步的梯度，计算权重矩阵和偏置向量的梯度。

4. 更新权重：使用计算出的权重梯度更新权重矩阵和偏置向量。

具体来说，对于一个长度为T的序列，我们可以将其表示为$x_1,x_2,...,x_T$，其中$x_t$是在时间步t上的输入。假设我们要计算的是某个损失函数$L$对权重矩阵和偏置向量的梯度，那么反向传播的过程可以如下描述：

1. 初始化梯度：将最终输出的梯度设置为1，即$\frac{\partial L}{\partial h_T}=1$。

2. 反向传播：从最后一步开始，计算每个时间步的梯度。假设当前时间步为$t$，那么我们需要计算$\frac{\partial L}{\partial h_t}$，同时需要根据这个梯度计算出$\frac{\partial L}{\partial x_t}$和$\frac{\partial L}{\partial h_{t-1}}$。这个过程可以通过以下公式实现：

$$\frac{\partial L}{\partial h_t}=\frac{\partial L}{\partial h_{t+1}}\frac{\partial h_{t+1}}{\partial h_t}+\frac{\partial L}{\partial x_{t+1}}\frac{\partial x_{t+1}}{\partial h_t}$$

$$\frac{\partial L}{\partial x_t}=\frac{\partial L}{\partial h_t}\frac{\partial h_t}{\partial x_t}$$

$$\frac{\partial L}{\partial h_{t-1}}=\frac{\partial L}{\partial h_t}\frac{\partial h_t}{\partial h_{t-1}}$$

其中，$\frac{\partial h_{t+1}}{\partial h_t}$和$\frac{\partial x_{t+1}}{\partial h_t}$可以根据权重矩阵和偏置向量计算得到。

3. 计算权重梯度：根据每个时间步的梯度，计算权重矩阵和偏置向量的梯度。假设当前时间步为$t$，那么我们需要计算$\frac{\partial L}{\partial W}$和$\frac{\partial L}{\partial b}$，可以通过以下公式实现：

$$\frac{\partial L}{\partial W}=\sum_{t=1}^T\frac{\partial L}{\partial h_t}\frac{\partial h_t}{\partial W}$$

$$\frac{\partial L}{\partial b}=\sum_{t=1}^T\frac{\partial L}{\partial h_t}\frac{\partial h_t}{\partial b}$$

其中，$\frac{\partial h_t}{\partial W}$和$\frac{\partial h_t}{\partial b}$可以根据输入$x_t$和当前时间步的梯度$\frac{\partial L}{\partial h_t}$计算得到。

4. 更新权重：使用计算出的权重梯度更新权重矩阵和偏置向量。可以使用标准的梯度下降或者其他优化算法来实现。

以上就是在线性RNN上通过时间反向传播计算梯度的基本过程。