怎么将求解得到的线性方程组解代入到边界元方程组中,求解边界值问题。
时间: 2024-05-30 18:15:36 浏览: 15
求解边界值问题的一般步骤如下:
1. 根据边界条件和物理模型,建立边界元方程组。
2. 求解线性方程组,得到未知量的解。
3. 将解代入到边界元方程组中,得到边界值问题的解。
具体来说,假设我们要求解的边界值问题为:
$$\nabla^2 u(x,y) = f(x,y)$$
$$u(x,y)|_{\partial\Omega} = g(x,y)$$
其中 $\Omega$ 表示区域边界,$f(x,y)$ 和 $g(x,y)$ 是已知函数。我们可以采用边界元方法来求解该问题:
1. 将区域边界 $\partial\Omega$ 划分成若干个小区域,每个小区域内有一个节点。
2. 对于每个节点,设它的坐标为 $(x_i,y_i)$,则 $u(x_i,y_i)$ 是未知量,可以表示为以下形式:
$$u(x_i,y_i) = \sum_{j=1}^n c_j\phi_j(x_i,y_i)$$
其中 $c_j$ 是待求系数,$\phi_j(x,y)$ 是基函数。
3. 对于每个节点,可以根据边界条件,列出一个方程:
$$\sum_{j=1}^n c_j\phi_j(x_i,y_i) = g(x_i,y_i)$$
4. 对于每个节点,可以根据 Laplace 方程,列出一个方程:
$$\sum_{j=1}^n c_j\Delta\phi_j(x_i,y_i) = f(x_i,y_i)$$
其中 $\Delta$ 表示二维 Laplace 算子。
5. 将所有节点的方程组合起来,得到一个线性方程组:
$$\begin{pmatrix} \phi_{11} & \phi_{12} & \cdots & \phi_{1n} \\ \phi_{21} & \phi_{22} & \cdots & \phi_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \phi_{n1} & \phi_{n2} & \cdots & \phi_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} g(x_1,y_1) \\ g(x_2,y_2) \\ \vdots \\ g(x_n,y_n) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} f(x_1,y_1) \\ f(x_2,y_2) \\ \vdots \\ f(x_n,y_n) \end{pmatrix}$$
6. 解出线性方程组的解 $c_1,c_2,\cdots,c_n$。
7. 将解代入到 $u(x,y)$ 的表达式中,得到边界值问题的解:
$$u(x,y) = \sum_{j=1}^n c_j\phi_j(x,y)$$
其中 $\phi_j(x,y)$ 是基函数。
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