用Python求 二重积分的符号解与数值解

要求解二重积分的符号解，需要使用符号计算库Sympy。下面以求解 $\iint\limits_D xy\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中 $D=\{(x,y)|0\leq x\leq 1, 0\leq y\leq x\}$ 为例：

首先导入Sympy库：

import sympy as sp

定义符号变量：

x, y = sp.symbols('x y')

定义被积函数：

f = x * y

定义积分区域：

D = sp.Interval(0, 1) * sp.Interval(0, x)

计算符号解：

result = sp.integrate(f, (x, 0, 1), (y, 0, x))
print(result)

输出结果为：$\frac{1}{12}$。

接下来是数值解。要求解二重积分的数值解，可以使用SciPy库中的dblquad函数。下面以同样的例子为例：

首先导入SciPy库：

from scipy.integrate import dblquad

定义被积函数：

def f(x, y):
    return x * y

定义积分区域：

def D(y):
    return [0, y]

result, _ = dblquad(f, 0, 1, lambda x: 0, D)
print(result)

输出结果为：$\frac{1}{12}$。其中，第二个返回值为数值积分的误差估计值。