用C++编写最小二乘法的多项式拟合的程序，对下面这条曲线进行拟合，尽量少用头文件和库，曲线上的点为(0.4,1.075)(0.6,1.115)(0.8,1.16)(1.0,1.225)。要求1：求出它的经验公式，并导出新的点，与原来曲线上的点进行对比。 要求2：最小二乘法多项式拟合产生的线性联立方程用列主元素消去法求解。

好的，我会尽力回答你的问题。首先，最小二乘法是一种常见的数据拟合方法，可以用来求出一个函数的参数，使得该函数与一组给定的数据点最为接近。在多项式拟合中，我们可以用一个多项式函数来拟合给定的数据点，使得该函数能够经过这些点。假设我们要用一个n次多项式函数来拟合给定的m个数据点，那么我们可以列出如下的方程组：


其中，x_i 和 y_i 分别表示第i个数据点的横坐标和纵坐标，a_0, a_1, ..., a_n 分别表示多项式的系数。该方程组可以用矩阵表示为：


其中，X是一个m×(n+1)的矩阵，其中每一行都表示一个数据点，每一列都表示多项式的一个系数；y是一个m×1的向量，其中每个元素都表示对应数据点的纵坐标；a是一个(n+1)×1的向量，其中每个元素都表示多项式的一个系数。

我们可以用列主元素消去法来求解该方程组，具体步骤如下：

1.将增广矩阵[A|b]化为上三角矩阵[U|c]，其中U是一个n×(n+1)的矩阵，c是一个n×1的向量。

2.从最后一行开始，依次解出每个未知数的值。

3.将求得的未知数代入原方程中，得到拟合曲线的经验公式。

4.根据经验公式，求出新的点，并与原来的数据点进行对比。

下面是用C++编写的最小二乘法多项式拟合的程序：

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>

using namespace std;

const int MAXN = 10;
const double eps = 1e-10;

int n; // 多项式的次数
double a[MAXN][MAXN], b[MAXN], x[MAXN]; // 系数矩阵、常数向量、解向量

// 列主元素消去法解线性方程组
bool gauss() {
    int i, j, k, p;
    double maxa, t;
    for (k = 0; k < n; ++k) {
        maxa = 0.0;
        for (i = k; i < n; ++i) {
            if (fabs(a[i][k]) > maxa) {
                maxa = fabs(a[i][k]);
                p = i;
            }
        }
        if (maxa < eps) return false; // 奇异矩阵
        if (p != k) {
            for (j = k; j <= n; ++j) {
                swap(a[k][j], a[p][j]);
            }
            swap(b[k], b[p]);
        }
        for (i = k + 1; i < n; ++i) {
            t = a[i][k] / a[k][k];
            for (j = k + 1; j <= n; ++j) {
                a[i][j] -= t * a[k][j];
            }
            b[i] -= t * b[k];
        }
    }
    for (i = n - 1; i >= 0; --i) {
        for (j = i + 1; j < n; ++j) {
            b[i] -= a[i][j] * x[j];
        }
        x[i] = b[i] / a[i][i];
    }
    return true;
}

// 拟合函数
double f(double x) {
    double res = 0.0;
    for (int i = 0; i <= n; ++i) {
        res += x * pow(x, i);
    }
    return res;
}

int main() {
    double data[MAXN][2] = {{0.4, 1.075}, {0.6, 1.115}, {0.8, 1.16}, {1.0, 1.225}};
    n = 2; // 拟合2次多项式
    for (int i = 0; i <= n; ++i) {
        for (int j = 0; j <= n; ++j) {
            a[i][j] = 0.0;
            for (int k = 0; k < 4; ++k) {
                a[i][j] += pow(data[k][0], i + j);
            }
        }
        b[i] = 0.0;
        for (int k = 0; k < 4; ++k) {
            b[i] += pow(data[k][0], i) * data[k][1];
        }
    }
    if (gauss()) {
        cout << "经验公式为：y = ";
        for (int i = n; i >= 0; --i) {
            if (i == n) {
                cout << x[i] << "x^" << i << " + ";
            } else if (i == 0) {
                cout << x[i] << endl;
            } else {
                cout << x[i] << "x^" << i << " + ";
            }
        }
        cout << "拟合结果如下：" << endl;
        cout << setw(10) << "x" << setw(10) << "y1" << setw(10) << "y2" << endl;
        double x0 = 0.4, xn = 1.0, dx = 0.01;
        for (double xi = x0; xi <= xn; xi += dx) {
            double yi1 = f(xi);
            double yi2 = 0.0;
            for (int i = 0; i <= n; ++i) {
                yi2 += x[i] * pow(xi, i);
            }
            cout << setw(10) << xi << setw(10) << yi1 << setw(10) << yi2 << endl;
        }
    } else {
        cout << "无解" << endl;
    }
    return 0;
}

该程序中，我们首先定义了一个n×(n+1)的系数矩阵a和一个n×1的常数向量b，然后根据给定的数据点，计算出这些系数和常数，构建出一个线性方程组。接着，我们调用列主元素消去法求解该方程组，得到多项式的系数。最后，我们根据这些系数，求出拟合曲线的经验公式，并计算出一组新的点，与原来的数据点进行对比。