用遗传算法求解下面的非线性优化问题 min f(x) = ex1(4x' + 2x + 4xx2 + 2x2 + 1)

首先，我们需要将目标函数进行变换，以便于使用遗传算法进行求解。将 $f(x)$ 取对数，得到：

$$\ln f(x) = x_1 + \ln(4x' + 2x + 4x^2x_2 + 2x^2 + 1)$$

接下来，我们需要确定变量的编码方式。由于变量 $x$ 是实数，我们可以使用浮点数编码。假设我们使用 $n$ 个二进制位来表示每个浮点数，则一个浮点数可以表示的范围为 $[0, 2^n-1]$，我们需要将其映射到实数域上。假设实数 $x$ 的取值范围为 $[x_{\min}, x_{\max}]$，则映射公式为：

$$x = x_{\min} + \frac{x_{\max} - x_{\min}}{2^n-1} \times \texttt{binary}(x)$$

其中，$\texttt{binary}(x)$ 表示将实数 $x$ 转化为二进制编码。在本问题中，我们可以将每个变量 $x_i$ 编码成一个长度为 $n$ 的二进制串。

接下来，我们需要确定遗传算法的参数。常用的参数包括种群大小、交叉概率、变异概率、遗传代数等，这些参数的选择需要根据具体问题进行调整。在本问题中，我们可以选择种群大小为 $100$，交叉概率为 $0.9$，变异概率为 $0.1$，遗传代数为 $100$。

最后，我们可以使用遗传算法来求解目标函数的最小值。具体步骤如下：

1. 初始化种群：随机生成 $100$ 个长度为 $n$ 的二进制串，作为初始种群。

2. 评估适应度：将每个二进制串解码成实数向量，计算目标函数值并评估适应度。

3. 选择操作：使用轮盘赌选择算子，从种群中选择两个个体进行交叉和变异操作。

4. 交叉操作：使用单点交叉算子，对两个个体进行交叉操作，生成两个新个体。

5. 变异操作：对两个新个体进行变异操作，生成两个变异后的个体。

6. 评估适应度：将新个体和变异后的个体解码成实数向量，计算目标函数值并评估适应度。

7. 选择操作：使用精英保留策略，从当前种群和新个体中选择适应度最好的 $100$ 个个体作为下一代种群。

8. 终止条件：重复执行第 3 至 7 步，直到达到设定的遗传代数或者满足其他终止条件。

最终，遗传算法将返回找到的最小值和对应的最优解。